7 常微分方程在数学建模中的应用 这里介绍几个典型的用微分方程建立数学模型的例子. 一、人口预测模型 由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手.因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型. 例 1（ 马尔萨斯 （Malthus） 模型） 英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100 多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型,他的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对 增长（出生率与 死亡率之 差 ）是常数,即 单 位 时 间内 人口的增长量 与 人口成 正 比,比例系 数设为r ,在此假设下,推 导 并 求 解 人口随 时 间变 化的数学模型. 解 设时 刻 t的人口为)(tN,把)(tN当作 连 续 、可 微函 数处 理（因人口总 数很大 ,可近 似 地这样 处 理,此乃 离 散 变 量 连 续 化处 理）,据 马尔萨斯的假设,在t到tt时 间段 内 ,人口的增长量 为 ttrNtNttN)()()(, 并 设0tt 时 刻 的人口为0N ,于是 ．，00)(ddNtNrNtN 这就是马尔萨斯人口模型,用分离 变 量 法 易 求 出其 解 为 )(00e)(ttrNtN, 此式 表 明 人口以 指 数规 律 随 时 间无限增长. 模型检 验 ：据 估 计1961 年地球 上 的人口总 数为91006.3,而在以 后7 年中,人口总 数以 每 年2%的速 度 增长,这样19610 t,901006.3N ,02.0r,于是 )1961(02.09 e1006.3)(ttN. 这个公 式 非 常准 确 地反 映 了在1700—1961 年间世界人口总 数.因为,这期间地球 上 的人口大 约 每 35 年翻 一番 ,而上 式 断 定 34.6 年增加 一倍 （请 读 者 证 明 这一点 ）． 但 是,后 来 人们 以 美 国人口为例,用马尔萨斯模型计算 结 果与 人口资料比较,却 发现有很大 的差 异 ,尤 其 是在用此模型预测较遥 远 的未 来 地球 人口总 数时 ,发现更 令 人不 可 思 议 的问题,如按 此模型计算 ,到2670 年,地球 上 将 有36 000 亿 人口....
