1 / 6 数值分析第一次上机练习实验报告—— Lagrange插值与三次样条插值一、 问题的描述设2119fxx, 1,1x,取15iix,0,1,2,...,10i.试求出 10次Lagrange插值多项式10Lx 和三次样条插值函数S x (采用自然边界条件),并用图画出fx ,10Lx , S x . 二、 方法描述 —— Lagrange 插值与三次样条插值我们取15iix,0,1,2,...,10i，通过在ix 点的函数值2119iifxx来对原函数进行插值，我们记插值函数为g x ，要求它满足如下条件：21,0,1,2,...,1019iiig xfxix(1) 我们在此处要分别通过Lagrange 插值 (即多项式插值 )与三次样条插值的方法对原函数2119fxx进行插值，看两种方法的插值结果，并进行结果的比较。10 次的 Lagrange 插值多项式为：10100i iiLxy lx(2) 其中：21,0,1,2,...,1019iiiyfxix以及011011......,0,1,2,...,10......iiniiiiiiinxxxxxxxxlxixxxxxxxx我们根据 (2)进行程序的编写，我们可以通过几个循环很容易实现函数的Lagrange 插值。理论上我们根据区间1,1 上给出的节点做出的插值多项式nLx 近似于 fx ，而多项式nLx 的次数 n 越高逼近 fx 的精度就越好。但实际上并非如此，而是对任意的插值节点， 当 n的时候nLx 不一定收敛到fx ；而是有时会在插值区间的两端点附近2 / 6 会出现严重的nLx 偏离 fx 的现象，即所谓的Runge 现象。因此用高次插值多项式nLx 近似 fx 的效果并不总是好的，因而人们通常在选择插值方式的时候不用高次多项式插值， 而用分段低次插值，而这样的插值效果往往是非常好的，能够克服高次多项式插值的弱点，达到令人满意的效果。分段低次插值包括分段线性插值、分段三次Hermite 插值、三次样条插值等。前两种插值函数都具有一致收敛性，但是光滑性较差， 而在实际问题中我们往往要求函数具有二阶光滑度， 即有二阶连续导数。而对第三种插值方式，我们得到的是一个样条曲线，它是由分段三次曲线拼接而成，在连接点(即样点 )上二阶导数连续。我们记三次样条插值函数为S x ，它在每个小区间1,,0,1,2,...,9jjxxj上是三次函数， 因此在每个区间上需要确定4 个参数， 总共有 10 个小区间， 因此共需确定40 个未知参数。首先我们有插值条件：21,0,1,2,...,1019jjjS xyjx(3) 其次在每个节点,1,2,...,9jxj上满足连续性条件：00 ,'0'0 ,''0''0jjjjjjS xS xSxSxSxSx(4) 此外在端点处满足自然边界条件：010''''10,'''' 10SxSSxS(5) 我们假设'',0,1,2,....
