数列通项公式的完整求法_还有例题详解讲解VIP免费

1 一． 观察法例 1： 根据数列的前4 项，写出它的一个通项公式：（1）9， 99， 999，9999，⋯（ 2）,17164,1093,542,211（3）,52,21,32,1（4）,54,43,32,21解：（ 1）变形为： 101－ 1，102―1， 103―1， 104―1，⋯⋯∴通项公式为：110nna（2）;122nnna n（3）;12na n（4）1)1(1nnann.点评：关键是找出各项与项数n 的关系。二、公式法：当已知条件中有a n 和 s n 的递推关系时，往往利用公式：a n ＝1*1(1)(2,)nns nssnnN来求数列的通项公式。例 1： 已知数列 { an}是公差为 d 的等差数列，数列{bn} 是公比为 q 的 (q∈ R 且 q≠ 1)的等比数列，若函数 f (x) = (x－ 1)2，且 a1 = f (d－ 1)，a3 = f (d+1)，b1 = f (q+1)，b3 = f (q－1)，(1)求数列 { a n } 和 { b n } 的通项公式；解： (1) a 1=f (d－1) = (d－2)2，a 3 = f (d+1)= d 2，∴ a3－a1=d2－ (d－2) 2=2d，∴d=2，∴ an=a1+(n－ 1)d = 2(n－1)；又 b1= f (q+1)= q2， b3 =f (q－1)=(q－2)2，∴2213)2(qqbb=q2，由 q∈R，且 q≠ 1，得 q=－ 2，∴ bn=b· qn－ 1=4·(－ 2)n －1例 2.等差数列na是递减数列，且432aaa=48，432aaa=12 ，则数列的通项公式是（）(A) 122nan(B) 42nan(C) 122nan(D) 102nan解析 ：设等差数列的公差位d，由已知12348)()(3333adaada，解得243da， 又na是递减 数列，∴2d，81a，∴)2)(1(8nan102n，故选 (D) 。例3.已 知 等 比 数 列na的 首 项11a， 公 比10q， 设 数 列nb的 通 项 为21nnnaab，求数列nb的通项公式。2 解析 ：由题意，321nnnaab，又na是等比数列，公比为q∴qaaaabbnnnnnn21321，故数列nb是等比数列，)1(211321qqqaqaaab，∴)1()1(1qqqqqbnnn点评：当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。例 4: 已知无穷数列na的前 n项和为nS ，并且*1()nnaSnN，求na的通项公式？【解析】：1nnSa ，111nnnnnaSSaa，112nnaa ，又112a，12nna. 反思：利用相关数列na与nS的关系：11aS ,1nnnaSS(2)n与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 跟踪训练1.已知数列na的前 n 项和nS ，满足关系1lgnSn (1,2)n.试证数列na是等比数列 . 例 5：已知数列na前 n 项的和为 s n ＝23 a n － 3，求这个数列的通项公式。分析：用 a n 替换 s n -...