数学物理方程总结VIP免费

浙江理工大学数学系第一章：偏微分方程的基本概念偏微分方程的一般形式：2211( , ,,,,,)0nuuuF x uxxxLL其中12(,,...,)nxx xx是自变量，12( )(,,...,)nu xu x xx是未知函数偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性 PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线性PDE 和完全非线性PDE。二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）：2221112222220uuuuuaaaabcuxx yyxy（一般形式记为PDE （1））目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类( , )( , )x yx y非奇异0xyxy根据复合求导公式最终可得到：2221112222220uuuuuAAAABCu其中：考虑22111222()2()0zzzzaaaxxyy如果能找到两个相互独立的解那么就做变换( , )( , )x yx y从而有11220AA在这里要用到下面两个引理：引理 1：假设( , )zx y是方程22111222()2()0zzzzaaaxxyy(1)的特解，则关系式( , )x yC 是常微分方程：22111222()2()0adya dxdyadx（2）的一般积分。引理 2：假设( , )x yC 是常微分方程（2）的一般积分，则函数( ,)zx y是（ 1）的特解。由此可知，要求方程（1）的解，只须求出常微分方程（2）的一般积分。常微分方程（2）为 PDE（1）的 特征方程，（1）的积分曲线为PDE （1）的特征曲线。22111222()2()0adya dxdyadx21212112211aaaadydxa记2121122( , )x yaa a则：一维的波动方程：22222( , )(0,0)uuaf x txL ttx主部一维的热传导方程222( , )(0,0)uuafx txL ttx高维的情况只需要把22ux改为 laplace 的形式即可。数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件就构成了定界问题。根据定解条件的不同，又可以把定解问题分为三类：初值问题（ Dirichlet ）：定解条件仅有初值条件边值问题（Neumann ）：定解条件仅有边值条件混合问题（Rbin BC ）：定解条件有初值条件也有边值条件数学物理方程的解：如果一个函数在某一自变量的取值区域内有所需要的各界连续的导函数，并且带入数学物理方程使方程成为等式，称此函数为在该取值区域方程的解。定界问题的适定性：如果一个定解为题的解存在，唯一且稳定，就称这个定界问题是适定的；反之，若有一个性质不满足，则称这个定界问题是不适定的。所谓界存在，是指定解问题至少有一个解。如果一个定界问题的解不存在，这个问题就完全失去了意义，但定界问题反应的是客观物理实际，在实际问题中解释存在的。若定解问题的解不存在，说明所建立的定界问题是错误的，...