1 / 34 数学物理方程第二版答案第一章．波动方程§ 1 方程的导出。定解条件4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。解：如图 2，设弦长为 l ，弦的线密度为，则 x 点处的张力)(xT为)()(xlgxT且)(xT的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(txu表示弦上各点在时刻t 沿垂直于 x 轴方向的位移，取弦段),,(xxx则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为)(sin))(();(sin)(xxxxlgxxlg其中)(x 表示)(xT方向与 x 轴的夹角又.sinxutg于是得运动方程xuxxltux)]([22∣xuxlgxx][∣gx利用微分中值定理，消去x ，再令0x得])[(22xuxlxgtu。5. 验证2221),,(yxttyxu在锥222yxt>0 中都满足波动方程222222yuxutu证：函数2221),,(yxttyxu在锥222yxt>0 内对变量tyx,,有二阶连续偏导数。且tyxttu23222)(2252222322222)(3)(tyxtyxttu2 / 34 )2()(22223222yxtyxtxyxtxu23222)(22522223222223xyxtyxtxu222252222yxtyxt同理22225222222yxtyxtyu所以.222222252222222tuyxtyxtyuxu即得所证。§2 达朗贝尔公式、波的传抪3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）).()(0022222xuxuxuatuatxatx)0()0(解： u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得)(x =F（0）+G（ 2x）令 x+at=0 得)(x =F（2x）+G(0) 所以F(x)=)2( x-G(0). G（x）=)2( x-F(0). 且F（0）+G(0)=).0()0(所以u(x,t)=()2atx+)2(atx-).0(即为古尔沙问题的解。8．求解波动方程的初值问题3 / 34 xtuuxtxututtsin|,0sin002222解：由非齐次方程初值问题解的公式得dddtxuttxtxtxtx0)()(sin21sin21),(=tdtxtxtxtx0))](cos())([cos(21)]cos()[cos(21=tdtxtx0)sin(sinsinsin=tttxtx0)]sin()cos([sinsinsin=xt sin即xttxusin),(为所求的解。§ 3 混合问题的分离变量法1.用分离变量法求下列问题的解：(1) 0),(),0()0()1(,3sin022222tlutulxxxtulxuxuatuott解：边界条件齐次的且是第一类的，令)()(),(tTxXtxu得固有函数xlnxX nsin)(，且tlanBtlanAtTnnnsincos)(，)2,1(n于是1sin)sincos(),(nnnxlntlanBtlanAtxu4 / 34 今由始值确定常数nA 及nB ，由始值得1sin3sinnnxlnAlx1sin)(nnxlnBlanxlx所以,13A,0nA当3nlnxdxlnxlxanB0sin)(2xlnxnlxlnnlxlnxnllancossincos22222))1(1(4cos2sin24430333222nlanlxlnnlxlnnxl因此所求解为1443sinsin)1(143sin3cos),(nnxlntlannalxltlatxu(2) 0)0,(,...
