第七讲倍角公式与半角公式板块七倍角公式与半角、三角恒等变化的应用基础知识1．倍角公式(1)S 2α：sin 2 α ＝，sin α2cos α2＝；(2)C 2α： cos 2 α＝＝＝；(3)T 2α：tan 2 α ＝ . 2．倍角公式常用变形(1)sin 2 α2sin α＝，sin 2 α2cos α＝；(2)(sin α ± cos α )2＝；(3)sin 2α＝，cos 2α ＝；(4)1 －cos α ＝,1＋cos α＝ . 3．半角公式：(1)S：sin α2＝；(2)C：cos α2＝；(3)T：tan α2＝(无理形式 )＝＝(有理形式 )．4．半角公式变形：(1)sin 2α2＝； (2)cos 2α2＝； (3)tan 2α2＝ . [典型例题 ] 例 1 求下列各式的值：cosπ12cos512π；变式 cos 20° ·cos 40° ·cos 80°例 2 求证：3－4cos 2 A＋cos 4 A3＋4cos 2 A＋cos 4 A＝tan 4A. 变式 化简： 1＋sin 2θ－cos 2θ1＋sin 2θ＋cos 2θ. 例 3 求值：(1)sin π12； (2)cos 22°30 ′ ； (3)tan 67°30 ′变式 sin π8例 4 已知 cos α＝13，α 为第四象限角，求sin α2、 cos α2、tan α2. 变式 已知 cos θ ＝－35，且 180 ° <θ<270 ° ，求tan θ2. 课堂练习一、基础过关1． 函数 y＝2cos 2(x－π4)－1 是( ) A．最小正周期为π 的奇函数B．最小正周期为π2的奇函数C．最小正周期为π 的偶函数D．最小正周期为π2的偶函数2．3－ sin 70°2－cos 210 °的值是( ) A.12B.22C．2 D.323． 若 sin(π6－α)＝13，则 cos(2π3＋2α )的值为( ) A．－13B．－79C.13D.794． 若1－ tan θ2＋ tan θ＝1，则cos 2 θ1 ＋sin 2 θ的值为( ) A． 3 B．－ 3 C．－ 2 D．－125． 已知等腰三角形底角的正弦值为53，则顶角的正弦值是( ) A.459B.259C．－459D．－2596． 2sin222.5° －1 ＝________. 7． 函数 f (x)＝cos x－sin 2x－cos 2 x＋74的最大值是 ______．8． 已知角 α 在第一象限且cos α ＝35，求1＋2cos2 α－π4sinα＋π2的值．二、能力提升9． 如果 |cos θ |＝15，5π2< θ<3 π ，则 sin θ2的值是( ) A．－105B.105C．－155D.15510 ．已知 tan θ2＝ 3，则1－cos θ＋sin θ1＋cos θ＋sin θ＝______. 11 ．已知 sin 22α＋sin 2 α cos α －cos 2 α＝1，α ∈ (0 ，π2 )，求 α . 12 ．求值：(1)sin 6°sin 42°sin 66°sin 78° ；(2)＋3－ cos 20°cos 80° 1－ cos 20°. 三、探究与拓展13 ．化简：(1)cos π11cos 2 π11cos 3π11cos 4π11cos 5π11；(2)cos x2cos x4cos x8⋯ cos x2 n.
