第六章 微分方程与差分方程 一、知识网络图 二、内容与要求 1．了解常微分方程及其阶、解、通解、初始条件、特解等概念． 2．能正确判断一阶微分方程的类型，熟练掌握可分离变量方程、齐次方程和一阶线性微分方程的解法． 3．能用降阶法解特殊类型的高阶微分方程（包括，， 的解法）． 4．熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，掌握高阶常系数齐次线性微分方程的解法． 5．理解二阶线性方程的通解结构，掌握自由项形如的二阶常系数非齐次线微分性方程的解法． 6．会对一些简单的经济、几何等问题建立微分方程模型并求解． 7．了解差分与差分方程及其通解与特解等概念． 8．掌握一阶常系数线性差分方程的求解方法． 9．会用微分方程和差分方程求解简单的经济应用问题． 重点 微分方程与差分方程的概念；可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶常系数线性微分方程的解法；一阶常系数线性差分方程的解法． 难点 二阶常系数非齐次线性微分方程的求解；一阶常系数非齐次线性差分方程的求解；微分方程与差分方程的应用． 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1、基本概念 （1）微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微分方程． （2）微分方程的阶 微分方程中未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶． （3）微分方程的解 代入微分方程能使其成为恒等式的函数，称为微分方程的解． （4）微分方程的通解 如果微分方程的解中含有任意常数，且相互独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相等，那么这样的解称为微分方程的通解．通解有两种：一种称显式通解，一种称隐式通解． （5）微分方程的特解 微分方程的解如果是完全确定的（即不含有任何参数），称为微分方程的特解． 微分方程的特解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线． （6）微分方程的初值问题 求满足一定条件的微分方程的特解，这个问题称为微分方程的初值问题，这个条件称为微分方程的初始条件． （7）一阶差分 对任何数列，称数列为原数列的一阶差分． （8）阶差分 阶差分的差分称为数列的阶差分，记为．二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分． （9）差分方程 含有自变量 ，未知函数或求知函数的差分的方程称为差分方程． （10）差分方程的阶 差分方程中所含未知函数差分的实际最高阶数或方程中未知函数的最大下标与最小下标的差数称为此差分方程的阶． （11）差分方程的解 满足差分方程的函数，称...
