1 第六章 无穷级数 学习目的和要求 学习本章,要求读者掌握常数项级数收敛和发散的概念,级数的基本性质及收敛的必要条件,几何级数、 p级数和调和级数的收敛性;正项级数收敛的判别法则及判定交错级数收敛性的莱布尼兹判别法;掌握幂级数的概念和运算,熟悉常用函数 的幂级数展开式,并会用间接法将一些简单函数展成幂级数,求出其收敛半径和收敛区域. 第一节 常数项级数 1.常数项级数的定义 设已给数列 则式子 或其简写 叫做无穷级数,记前 无限增大时,若数列 具有有限的极限 S. 则称无穷级数收敛,其极限值 S称为级数的和,并记为 若 没有极限,就称无穷级数发散. 例如:几何级数 则 当 2 无极限. 从而可得如下结论:若几何级数的公式比 时,则级数 收敛.若 ,则此级数发散. 2.无穷级数的基本性质 (1) 若级数 ,则每一项乘以一个不为零的常数 (2) 设有两个收敛级数: 则级数 收敛于和 (3)在级数的前面部分去掉或加上有限项,不影响级数的敛散性,但是其级数和会发生相应变化. (4)收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和 S. 要求读者了解上述基本性质的证明,并熟练运用上述诸性质. 3 (5)常数项级数收敛的必要条件:若级数 趋于无穷大时,它的一般项 必趋近于零. 因而若级数的一般项不趋于零,则级数一定发散,但反之不然,亦即如果级数的一般项趋于零,则级数未必收敛. 例如:调和级数 其一般项 但它是发散的. (6)级数 称为 级数收敛。 3.正项级数收敛的判别法(要求读者能熟练使用下列判别法) 若级数的每一项均为正数(即 )则称为正项级数,有如下收敛判别法: (1)比较判别法 设有两个正项级数 若级数 也发散. (2)比值判别法 设正项级数的后项与前项之比值的极限等于 , 4 则当 <1时级数收敛, >1时级数发散, =1时待定. 4.莱布尼兹判别法 若交错级数满足条件:1) ,则交错级数 收敛,且其 和 的近似值时,误差 5.绝对收敛和条件收敛 若级数 各项的绝对值所成的级数 收敛,则级数 收敛,并称这样的级数叫做绝对收敛级数. 如果级数 收敛,而它的各项取绝对值所成的级数发散,则称级数 为条件收敛级数. 第二节 幂 级 数 形为 的级数称为幂级数,而常数 叫做幂级数的系数. 1.幂级数的收敛半径 对幂级数,必有数R,使当 时幂级数绝对收敛,而当 时,幂级数发散,数R被称为收敛半径. 幂级数的收敛半径可如下求得: 设极限 是...