1 第六章 无穷级数 学习目的和要求 学习本章，要求读者掌握常数项级数收敛和发散的概念，级数的基本性质及收敛的必要条件，几何级数、 p级数和调和级数的收敛性；正项级数收敛的判别法则及判定交错级数收敛性的莱布尼兹判别法；掌握幂级数的概念和运算，熟悉常用函数 的幂级数展开式，并会用间接法将一些简单函数展成幂级数，求出其收敛半径和收敛区域． 第一节 常数项级数 1．常数项级数的定义 设已给数列 则式子 或其简写 叫做无穷级数,记前 无限增大时，若数列 具有有限的极限 S. 则称无穷级数收敛，其极限值 S称为级数的和，并记为 若 没有极限，就称无穷级数发散. 例如：几何级数 则 当 2 无极限. 从而可得如下结论：若几何级数的公式比 时，则级数 收敛．若 ，则此级数发散. 2．无穷级数的基本性质 (1) 若级数 ，则每一项乘以一个不为零的常数 (2) 设有两个收敛级数： 则级数 收敛于和 (3)在级数的前面部分去掉或加上有限项，不影响级数的敛散性，但是其级数和会发生相应变化． (4)收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和 S． 要求读者了解上述基本性质的证明，并熟练运用上述诸性质． 3 (5)常数项级数收敛的必要条件：若级数 趋于无穷大时，它的一般项 必趋近于零． 因而若级数的一般项不趋于零，则级数一定发散，但反之不然，亦即如果级数的一般项趋于零，则级数未必收敛． 例如：调和级数 其一般项 但它是发散的. (6)级数 称为 级数收敛。 3．正项级数收敛的判别法(要求读者能熟练使用下列判别法) 若级数的每一项均为正数(即 )则称为正项级数，有如下收敛判别法： (1)比较判别法 设有两个正项级数 若级数 也发散． (2)比值判别法 设正项级数的后项与前项之比值的极限等于 ， 4 则当 <1时级数收敛， >1时级数发散， =1时待定． 4．莱布尼兹判别法 若交错级数满足条件：1) ，则交错级数 收敛，且其 和 的近似值时，误差 5．绝对收敛和条件收敛 若级数 各项的绝对值所成的级数 收敛,则级数 收敛，并称这样的级数叫做绝对收敛级数． 如果级数 收敛，而它的各项取绝对值所成的级数发散，则称级数 为条件收敛级数. 第二节 幂 级 数 形为 的级数称为幂级数，而常数 叫做幂级数的系数. 1．幂级数的收敛半径 对幂级数，必有数R，使当 时幂级数绝对收敛，而当 时，幂级数发散，数R被称为收敛半径． 幂级数的收敛半径可如下求得： 设极限 是...
