等差数列与等比数列 基础知识 1 ．数列的概念 定义1 . 按照某一法则，给定了第1 个数，第2 个数，………，对于正整数有一个确定的数，于是得到一列有次序的数我们称它为数列，用符号表示。数列中的每项称为数列的项，第项称为数列的一般项，又称为数列的通项。 定义2 .当一个数列的项数为有限个时，称这个数列为有限数列；当一个数列的项数为无限时，则称这个数列为无限数列。 定义3 .对于一个数列，如果从第2 项起，每一项都不小于它的前一项，即，这样的数列称为递增数列；如果从第2 项起，每一项都不大于它的前一项，即，这样的数列称为递减数列。 定义4 .如果数列的每一项的绝对值都小于某一个正数，即，其中是某一个正数，则称这样的数列为有界数列，否则就称为是无界数列。 定义5 .如果在数列中， 项数与具有如下的函数关系：，则称这个关系为数列的通项公式。 2 ．等差数列 定义6 .一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做公差，常用字母表示。 等差数列具有以下几种性质： （ 1 ）等差数列的通项公式：或； （ 2 ）等差数列的前项和公式：或； （ 3 ）公差非零的等差数列的通项公式为的一次函数； （ 4 ）公差非零的等差数列的前项和公式是关于不含有常数项的二次函数； （ 5 ）设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列； （ 6 ） 设，是等差数列，则（是常数）也是等差数列； （ 7 ）设，是等差数列，且，则也是等差数列（即等差数列中等距离分离出的子数列仍为等差数列）； （ 8 ） 若， 则； 特 别 地 ， 当时 ，； （9）设，，，则有； （ 1 0 ） 对于项数为的等差数列， 记分别表示前项中的奇数项的和与偶数项的和，则，； （ 1 1 ）对于项数为的等差数列，有，； （ 1 2 ）是等差数列的前项和，则； （ 1 3 ）其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则 ①．为等差数列，公差为； ②．（即）为等差数列，公差； ③．（即）为等差数列，公差为. 3 ．等比数列 定义7 .一般地，如果有一个数列从第2 项起，每一项与它的前一项的比等于现中一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比；公比通常用字母表示（），即。 等比数列具有以下性质： （ 1 ）等比数列的通项公式：或； （ 2 ）等比数列的前项和公式：； （ 3 ）等比中项：...
