线性代数第五版第五章VIP免费

第五章 相似矩阵及二次型 1 试用施密特法把下列向量组正交化 (1)931421111) , ,(321aaa 根据施密特正交化方法 11111 ab 101],[],[1112122bbbabab 12131],[],[],[],[222321113133bbbabbbbabab (2)011101110111) , ,(321aaa 解 根据施密特正交化方法 110111 ab 123131],[],[1112122bbbabab 433151],[],[],[],[222321113133bbbabbbbabab 2 下列矩阵是不是正交阵: (1)121312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵 (2)979494949198949891 解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为正交阵 3 设 x 为 n 维列向量 xTx1 令 HE2xxT 证明 H 是对称的正交阵 证明 因为 HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)T E2(xT)TxTE2xxT 所以 H 是对称矩阵 因为 HTHHH(E2xxT)(E2xxT) E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT) E4xxT4x(xTx)xT E4xxT4xxT E 所以 H 是正交矩阵 4 设 A 与 B 都是 n 阶正交阵 证明 AB 也是正交阵 证明 因为 A B 是 n 阶正交阵 故 A1AT B1BT (AB)T(AB)BTATABB1A1ABE 故 AB 也是正交阵 5 求下列矩阵的特征值和特征向量: (1)201335212; 解 3)1(201335212||EA 故 A 的特征值为 1(三重) 对于特征值1 由 000110101101325213~EA 得方程(AE)x0 的基础解系 p1(1 1 1)T 向量 p1 就是对应于特征值1 的特征值向量. (2)633312321; 解 )9)(1(633312321||EA 故 A 的特征值为 10 21 39 对于特征值10 由 000110321633312321~A 得方程 Ax0 的基础解系 p1(1 1 1)T 向量 p1 是对应于特...