1 曲线积分与曲面积分复习题一．计算对弧长地曲线积分1.4433()dL xys其中 L 为内摆线33cos(0)2sinxattyat(=73a ) 2.22dLxys,L 为圆周22xyax,(22a ) 3.dL x s,L 为双曲线1xy从点1 ,12到 1,1 地一段弧 . (2171ln(2 1)ln( 17 4)282) 4.222 dLzsxy,L 为螺线cos ,sin ,xat yat zat(02 )t.(2 3823a) 二.计算对坐标地曲线积分1.d()dL xy xyxy,L 为2yx从(0,0) 到(1,1)地一段弧 .(1730) 2.(2)d()dayxayy,L 为摆线(sin ),(1 cos )xa ttyat 从0t到2t地一段弧 .(2a ) 3.222ddd2x xy yz zxyzxyz,是 (1,1,1)到(4,4,4) 地直线段 (3 3) 三.格林公式及积分与路径无关1.证明43224(4)d(65)dxxyxx yyy与路径无关,3 并求(3,0)432 24(4)d(65)d( 2, 1) xxyxx yyy(62) 2.证明积分21cosdsincosd2yyyyyxyLxxxxx与路径无关 ,并求(2,)(1, )21cosdsincosd2yyyyyxyxxxxx(1) 3.利用格林公式计算1.22(2cos -sin)d(2cos -sin)dLxy yx yxyx xy xyL 是222()xy上从 (0,0) 到( ,) 地一段弧.(23132) 2.2222(2)d(2)dxxyyxxxyyy, L 是22(1)1xy从 (0,0) 到 (1,1)地 一 段 弧4 (13)．4.验证2222 (1) dd(1)1yyxeexyxx在 xOy面上是某个函 数(,)uxy地 全 微 分 , 并 求 这 样 地 一 个(,)uxy(211yex) 5.验证(sinsin )d(coscos )dxyxyeyexxeyexy在 xOy面上是某个函数( , )u x y 地全微分 ,并求这样地一个 ( , )u x y (sincosxyeyex) 5.少一求面积地题6.少一做功问题四.计算对面积地曲面积分1.计算2dS(1)xy,其中为平面1xyz及三个坐标面所围成地四面体 地表5 面.(33( 31)ln 22) 2. 计算() d Sxyz,为上半球 面222zaxy(3a ) 3.计算() dx yy zz x,为锥面22zxy被 曲 面222xyax 所 截 得 地 部分.(464215a ) 五.计算对坐标地曲面积分1.d dz x y ,是球面2222xyzR 地下半部分地下侧 (323R ). 2.22d dzex yxy,其中是锥面22zxy及平面6 1,2zz所围成地立体表面外侧(22 e )．3.d dd dd dz x yx y zy x z,是锥面22zxy被1z割下地部分地下侧. 这里起4.利用高斯公式计算曲面积分333d dd dd dxy zyz xzx y,其中为2222xyza 地外侧 (5125a )．六．求通量 , 1.求 A=xyyzxzijk 流过球面2221xyz在第一卦限地通量(取上侧 ).( 316) 2.求Ayzxzxyi +j +k流过柱面222(0)xyazh 地通量 (取外侧 )(0) 七.求环流量求向量场32()()3Axzxyzxy ki +j沿闭曲线(从 z轴正7 向 看为 逆 时 针 ):222,0zxyz地 环 流 量(12). 七．利用斯托克斯公式计算()d()d()dyzxzxyxyz,其中是椭圆222,1(0,0)xzxyaabab,并从 x地正向看去 ,取逆时针 ( 2()a ab )．八．求向量场2A=(e)cos()sin()xyxyxykij地散度和旋度 . 补题 :设曲线积分2d( )dL xyxyxy与路径无关,其中( )x有连续导数,且(0)0,计算(1,1)2(0,0)d( )dxyxyxy( 12)
