- 1 - 《近世代数》试卷1（时间120 分钟） 二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分） 1. （ ）循环群的子群是循环子群。 2. （ ）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。 3. （ ）存在一个4 阶的非交换群。 4. （ ）素数阶的有限群G 的任一子群都是G 的不变子群。 5. （ ）无零因子环的特征不可能是2001。 6. （ ）无零因子环的同态象无零因子。 7. （ ）模97 的剩余类环Z97 是域。 8. （ ）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 9. （ ）域是唯一分解整环。 10. （ ）整除关系是整环R 的元素间的一个等价关系。 一、填空题（共20 分，第1、4、6 小题各4 分，其余每空2 分） 1. 设A、B 是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义 个从A 到B 的映射，其中 有 个单射，有 个满射，有 个双射。 2. 设群G 是24 阶群，G 中元素a 的阶是6，则元素a2 的阶为 ，子群H=< a3>的在G 中的指数是 。 3. 设G＝< a>是10 阶循环群，则G 的非平凡子群的个数是 。 4. 在模12 的剩余环R=｛[0], [1], „„, [11]｝中，［5］＋［10］＝ ，［5］·［10］＝ ，方程 x2＝[1]的所有根为 。 5. 环Z6 的全部零因子是 。 6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α ＝ 在Z[√-3 ]中有两种本质不同的分解α ＝ = 。 得 分 评卷人 复查人 三、解答题（共3０分） 1. 设S3 是3 次对称群，a=（123）∈S3． （１） 写出 H＝< a>的所有元素． （２） 计算 H 的所有左陪集和所有右陪集． （３） 判断 H 是否是S3 的不变子群，并说明理由． 2. 求模18 的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。 - 2 - 3. 在整数环Z 中，求由200４，125 生成的理想A=（2004，125）。 四、证明题（共30 分） 1. 设G 是一个阶为偶数的有限群，证明 （１） G 中阶大于2 的元素的个数一定为偶数； （２） G 中阶等于2 的元素的个数一定为奇数。 2. 设φ 是环（R，+，·，0，1）到环（R ，+，·，0/，1/）的同态满射。N=Kerφ ={x|x∈R且φ （x）=0/} , 证明：φ 是同构映射当且仅当 N={0}。 3. 证明：非零整环R 只有有限个理想当且仅当 R 是域。 - 3 - 《近世代数》试卷2（时间120 分钟） 一、填空题（共20 分） 1. 设G＝（a）是6 阶循环群，则G 的子群有 。 2. 设A、B 是集合...
