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1 近世代数习题解答 第二章 群论 1 群论 1. 全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群? 证 不是一个群,因为不适合结合律. 2. 举一个有两个元的群的例子. 证 }1,1{ G 对于普通乘法来说是一个群. 3. 证明, 我们也可以用条件 1,2以及下面的条件 '' 5,4来作群的定义: '4 . G 至少存在一个右单位元e,能让aae  对于G 的任何元a 都成立 '5 . 对于G 的每一个元a ,在G 里至少存在一个右逆元,1a能让 eaa1 证 (1) 一个右逆元一定是一个左逆元,意思是由eaa1 得eaa1 因为由'4 G 有元'a 能使eaa'1 所以))(()('111aaaaeaa eaaaeaaaaa'1'1'11][)]([ 即 eaa1 (2) 一个右恒等元e一定也是一个左恒等元,意即 由 aae  得 aea  aaeaaaaaaea)()(11 即 aea  这样就得到群的第二定义. (3) 证 bax 可解 取bax1 bbebaabaa)()(11 这就得到群的第一定义. 反过来有群的定义得到'' 5,4是不困难的. 2 单位元,逆元,消去律 1. 若群G 的每一个元都适合方程ex 2,那么G 就是交换群. 2 证 由条件知G 中的任一元等于它的逆元,因此对Gba,有baababab111)(. 2. 在一个有限群里阶大于2 的元的个数是偶数. 证 (1) 先证a 的阶是n 则1a的阶也是n .eeaaeannn111)()( 若有nm 使eam  )(1 即 eam1)(因而 1 eam eam  这与a 的阶是n 矛盾.a的阶等于1a的阶 (2) a 的阶大于2 , 则1 aa 若 eaaa21 这与a 的阶大于2 矛盾 (3) ba  则 11  ba 总起来可知阶大于2 的元a 与a双双出现,因此有限群里阶大于2 的元的个数一定是偶数 3. 假定G 是个数一个阶是偶数的有限群,在G 里阶等于2 的元的 个数一定是奇数. 证 根据上题知,有限群G 里的元大于2 的个数是偶数;因此阶 2的元的个数仍是偶数,但阶是1的元只有单位元,所以阶 2的元的个数一定是奇数. 4. 一个有限群的每一个元的阶都是有限的. 证 Ga  故 Gaaaanm,,,,,,2 由于G 是有限群,所以这些元中至少有两个元相等: nmaa )(nm 故 eamn mn 是整数,因而a 的阶不超过它. 4 群的同态 假定在两个群G 和G 的一个同态映射之下, aa，a 和a 的阶是不是一定相同? 证 不一定相同 例如 }231,2...