第一章 第二章 第一章 1. 如果在群G 中任意元素,a b都满足222()aba b, 则G 是交换群. 证明: 对任意,a bG有ababaabb. 由消去律有abba. □ 2. 如果在群G 中任意元素a 都满足2ae ,则G 是交换群. 证明: 对任意,a bG有222()abea b. 由上题即得. □ 3. 设 G 是一个非空有限集合, 它上面的一个乘法满足: (1) ()()a bcab c, 任意, ,a b cG. (2) 若 abac则bc . (3) 若 acbc则ab . 求证: G 关于这个乘法是一个群. 证明: 任取 aG, 考虑2{ ,,,}a aG. 由于||G 必然存在最 小的 i 使得iaa. 如果对任意aG, 上述i都是1, 即, 对任意xG都有2xx, 我们断言G 只有一个元, 从而是幺群. 事实上, 对任意,a bG, 此时有: ()()()ab aba ba bab, 由消去律, 2babbb; 2abbb,再由消去律, 得到 ab , 从而证明了此时 G 只有一个元, 从而是幺群. 所以我们设 G 中至少有一个元素a 满足: 对于满足 iaa 的最小正整数 i有1i . 定义 eG为1iea , 往证e 为一个单位元. 事实上, 对任意bG, 由| |G , 存在 最小的k 使得kbaba. 由消去律和i的定义知ki : ibaba, 即beb . 最后, 对任意xG, 前面已经证明了有最小的正整数k 使得kxx. 如果1k , 则2xxxe, 由消去律有xe 从而22xee , 此时x 有逆, 即它自身. 如果1k , 则11kkkxxxexxxx, 此时x 也有逆: 1kx . □ 注: 也可以用下面的第 4 题来证明. 4. 设 G 是一个非空集合, G 上有满足结合律的乘法. 如果该乘法 还满足: 对任意,a bG, 方程 axb和yab 在G 上有解, 证明: G 关于该乘法是一个群. 证明: 取定aG. 记 axa的在G 中的一个解为e . 往证e 是G 的单位元. 对任意bG, 取 yab 的一个解 cG: cab. 于是: ()()beca ec aecab . 得证. 对任意gG, 由gxe 即得g 的逆. □ 5. 找两个元素3,x yS使得222()xyx y. 解: 取(12)x , (13)y . □ 6. 对于整数2n , 作出一个阶为2n 的非交换群. 解: 二面体群nD . □ 7. 设 G 是一个群. 如果,a bG满足1ra bab, 其中 r 是正整数, 证 明: iiira bab, i是非负整数. 证明: 对i作数学归纳...
