递推数列特征方程法VIP专享VIP免费

1 递推数列特征方程 一、问题的提出 递推(迭代)是中学数学中一个非常重要的概念和方法，递推数列问题能力要求高，内在联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。 在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的递推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求它的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教： 已知斐波那契数列,3,2(,11121naaaaannn…)，求通项公式na 。 参考书上的解法是这样的： 解 此数列对应特征方程为12 xx即012 xx，解得251 x， 设此数列的通项公式为nnncca)251()251(21， 由初始条件121 aa可知， 1)251()251(1251251222121cccc，解之得515121cc， 所以nnna)251(251(55）。 这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”。换句话说，这种解法的依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行教材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难以接受的，也是不负责任的。面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。其后不久，一次偶然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。 二、研究与探索 问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求： 若数列 na满足),1(,11cdcaabann其通项公式的求法一般采用如下的 2 参数法，将递推数列转化为等比数列： 设tccaatactannnn)1(),(11则 ， 令dtc )1(，即 1 cdt，当1c时可得 )1(11cdaccdann， 知数列1cdan是以c 为公比的等比数列， 11)1(1nnccdacda 将ba 1代入并整理，得11cdcbdbcannn. 将上述参数法类比到二阶线性递推数列,11nnnqapaa能得到什么结论？ 仿上，我们来探求数列nntaa1的特征： 不妨设)(11nnnntaastaa， 则11)(nnnstaatsa, 令...