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导数基础讲义 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度． 序章 函数 一件事变成了这样，使得另一件事变成了那样。所谓函数，说的就是事物间的相关性，函数说到底就是用来描述“关系”（或因果）“变化”或者“单位变化”的工具。 y=f(x) 就是使用f 给 x 施加某种规则或关系，进而推导出 y。 例：声速和气温可以用函数表示，每上升 1℃，声速就会提高0.6m/s，y=0.6x+331。 温度为 15℃时，声速=0.6x15+331=340m/s 例：将华氏温度x（℉）变换为摄氏温度y（℃），y=(x-32)*5/9 x=50℉时，y=（50-32）*5/9=10℃； x=68℉时，y=（68-32）*5/9=20℃ 第一章 微分就是将函数化繁为简 在讨论局部性质时，可以使用简单的一次函数来替代复杂的原函数，进而推导出正确的结论。 将 y=x2 在 x=1 处近似成一次函数g(x)=2x-1，在 x=1 处，y=x2 与g(x)=2x-1 的结果相等；离 x=1 处越近，用 g(x)近似 f(x)的效果就越好。 x X距离1的变化量 f(x) g(x) 差值 误差率 1.1 0.1 1.21 1.2 0.01 10% 1.01 0.01 1.0201 1.02 0.0001 1% 1.001 0.001 1.002001 1.002 0.000001 0.1% 1.0001 0.0001 1.00020001 1.0002 0.00000001 0.01% 误差率=（f 与 g 的差异）/（x 的变化量），从上表可以看出，在某值附近，用简单的一次函数，就可以近似复杂的函数，距离某值越近似为 g(x)=2x-1 近，近似的效果越好。所谓近似成一次函数，就是令原函数的误差率为0 的情况。 在x=x0 处，用来近似f(x)的一次函数g(x)=kx+b，其中，k 被称为f(x) 在x=x0 处的微分系数，k=f’(x0)，就是y= f(x)在x=x0 处切线的斜率。 由y=f(x)求解导函数 的过程称为微分 求几个常用的函数的导数： 1、函数( )yf xc的导数 根据导数定义，因为 ()( )0yf xxf xccxxx  所以00limlim 00xxyyx   函数 导数 yc 0y  0y 表示函数yc图像（图 3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0．若 yc表示路程关于时间的函数，则0y 可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数( )yf xx的导数 因为 ()( )1yf xxf xxxxxxx    所以00limlim 11xxyyx ...