雅可比迭代法高斯迭代法松弛迭代法VIP免费

第3章解线性方程组的迭代法迭代法是从某一取定的初始向量x(0)出发,按照一个适当的迭代公式,逐次计算出向量x(1),x(2),…,使得向量序列{x(k)}收敛于方程组的精确解.迭代法是一类逐次近似的方法.其优点是,算法简便,程序易于实现.§3.1迭代法概述定义3.1设向量序列,)x,,x,x(T)k(n)k(2)k(1)k(xk=1,2,…,向量,)x,,x,x(T*n*2*1*x如果0lim*)k(kxx则称向量序列{x(k)}收敛于向量x*,记作.xxlim*(k)k易得,n,1,2,i,xxxxlim*i(k)i*(k)k定义3.2设序列为n阶方阵序列，A为n阶方阵，则称序列收敛于向量矩阵A,记为(){}kA如果()lim||A-A||=0kk(){}kA()limkkAAAA)(limkknj,i1,aa*ij)k(ij易得,迭代法的基本思想是，把n元线性方程组nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.........................................................22112222212111212111（3.1）或Ax=b改写成等价的方程组nnnnnnnnnnngxmxmxmxgxmxmxmxgxmxmxmx2211222221212112121111，或x=Mx+g由此建立方程组的迭代公式x(k+1)=Mx(k)+g,k=0,1,2,…(3.2)其中M称为迭代矩阵。对任意取定的初始向量x(0),由(3.2)式可逐次算出迭代向量x(k),k=1,2,…,如果向量序列{x(k)}收敛于x*,由(3.2)式可得x*=Mx*+g从而x*是方程组x=Mx+g的解,也就是方程组Ax=b的解.这种求解线性方程组的方法称为迭代法,若迭代序列{x(k)}收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散.§3.2几种基本的迭代法Jacobi方法是由方程组(3.1)中第k个方程解出x(k),得到等价方程组:§3.2.1雅可比(Jacobi)迭代法从而得迭代公式nnnnnnnnnnnnnnnnnnnabxaaxaaxaaxabxaaxaaxaaxabxaaxaaxaax1122112222223222312221211111131113211121,3,2,1,)3.3()(1)(2)(1)1(222)(222)(2223)(2221)1(111)(111)(1113)(1112)1(112131232kabxaaxaaxaaxabxaaxaaxaaxabxaaxaaxaaxnnnknnnnknnnknnnkknkkkknkkknnnn式(3.3)称为Jacobi迭代法,简称为J迭代法.,则J迭代法可写成x(k+1)=Bx(k)+gk=0,1,2,…可见,J迭代法的迭代矩阵为0002122222211111112nnnnnnnnaaaaaaaaaaaaBTnnnababab),,,(222111g若记,2,1,0,,2,1,)(11)(11)()1(knixaxabaxnijkijijkijiiikjjiJ法也记为G-S迭代法也可记为,3,2,1,)4.3()1(1)1(2)1(1)1(222)(222)(2223)1(2221)1(111)(111)(1113)(1112)1(112131232kabxaaxaaxaaxabxaaxaaxaaxabxaaxaaxaaxnnnknnnnknnnknnnkknkkkknkkknnnn式(3.4)称为Gauss-Seidel迭代法,简称为G-S迭代法.若在J迭代法中,充分利用新值,则可以得到如下的迭代公式,2,1,0,,2,1,)(11)(11)1()1(knixaxabaxnijkijijkijiiikjji§3.2.2高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法方程组的精确解为x*=(1,1,1)T.解J迭代法计算公式为例1用J法和G-S法求解线性方程组141035310214310321321321xxxxxxxxx57)(2103)(1101)1(321)(3103)(151)1(257)(3101)(2103)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx取初始向量x(0)=(0,0,0)T,迭代可得4.1,5.0,4.1)1(3)1(2)1(1xxx计算结果列表如下:可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解,而切迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.G-S迭代法的计算公式为:同样取初始向量x(0)=(0,0,0)T,计算结果为由计算结果可见,G-S迭代法收敛较快.取精确到小数点后两位的近似解,G-S迭代法只需迭代3次,而J迭代法需要迭代7次.57)1(2103)1(1101)1(321)(3103)1(151)1(257)(3101)(2103)1(1kkkkkkk...