机械振动中的特征值问题机械振动是指系统在某一位置（通常是静平衡位置，简称平衡位置） 附近所作的往复运动。显然这是一种特殊形式的机械运动。人类的大多数活动都包括这样或那样的机械振动。例如，我们能听见周围的声音是由于鼓膜的振动；我们能看见周围的物体是由于光波振动的结果； 人的呼吸与肺的振动紧密相关；行走时人的腿和手臂也都在作机械振动；我们能讲话正是喉咙（和舌头）作机械振动的结果。早期机械振动研究起源于摆钟与音乐。至 20 世纪上半叶， 线性振动理论基本建立起来。欧拉（ Euler ）于 1728 年建立并求解了单摆在阻尼介质中运动的微分方程。1739 年他研究了无阻尼简谐强迫振动，从理论上解释共振现象。1747 年他对 n 个等质量质点由等刚度弹簧连接的系统列出了微分方程组并求出精确解，从而发现系统的振动是各阶简谐振动的叠加。 1760 年拉格朗日（ Lagrange ）建立了离散系统振动的一般理论。最早研究的连续系统是弦线。 1746 年达朗伯（ d’Alembert ）用片微分方程描述弦线振动而得到波动方程并求出行波解。 1753 年伯努利（ Bernoulli）用无穷多个模态叠加的方法得到弦线振动的驻波解。1759 年拉格朗日从驻波解推得性波解，但严格的数学证明直到1811 年傅里叶（ Fourier ）提出函数的级数展开理论才完成。一个振动系统本质上是一个动力系统，这是由于其变量如所受到的激励（输入） 和相应（输出）都是随时间变化的。 一个振动系统的响应一般来说是依赖于初始条件和外部激励的。大多数实际振动系统都十分复杂，因而在进行数学分析时把所有的细节都考虑进来是不可能的。为了预测在指定输入下振动系统的行为，通常只是考虑那些最重要的特性。也会经常遇到这样的情况， 即对一个复杂的物理系统，即使采用一个比较简单的模型也能够大体了解其行为。对一个振动系统进行分析通常包括以下步骤。步骤 1，建立数学模型。建立数学模型的目的是揭示系统的全部重要特性，从而得到描述系统动力学行为的控制方程。一个系统的数学模型应该包括足够多的细节，能够用方程描述系统的行为但又不致使其过于复杂。根据基本元件行为的属性，一个振动系统的数学模型可以是线性的， 也可以是非线性的。线性模型处理简单，容易求解。但是非线性模型有时能够揭示线性模型不能够预测到的某些系统特性。所以需要对实际系统做大量的工程判断以得到振动系统比较合理的模型。有时为了得到更准确的结果，需要对系统的数...
