高考数学中的内切球和外接球问题 一、 有关外接球的问题 如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用. 一、直接法(公式法) 1 、求正方体的外接球的有关问题 例 1 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . 2 7 . 例 2 一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为 2 4 ，则该球的体积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .43 . 2 、求长方体的外接球的有关问题 例 3 一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1 ,2 ,3 ，则此球的表面积为 .1 4 . 例 4 、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4 ，体积为 1 6 ，则这个球的表面积为（ ）. A. 16 B. 20 C. 24 D. 32 C. 3.求多面体的外接球的有关问题 例5. 一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98 ，底面周长为３，则这个球的体积为 . 解 设正六棱柱的底面边长为x ，高为h ，则有263,1 ,2936,384xxx hh ． ∴正六棱柱的底面圆的半径12r ，球心到底面的距离32d .∴外接球的半径221Rrd .43V球 . 小结 本题是运用公式222Rrd求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式. 二、构造法(补形法) 1、构造正方体 例5 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .9 . 例3 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是 . 故其外接球的表面积 249SR. 小结 一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为abc、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R ，则有 2222 Rabc. 出现“墙角...
