[离散数学]知识点及典型例题整理VIP免费

【半群】G 非空，·为G 上的二元代数运算，满足结合律。 【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1 适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1 适合a·a-1=a-1·a=1。 【Abel 群/交换群】·适合交换律。可能不只有两个元素适合x2=1 【置换】n 元置换的全体作成的集合Sn 对置换的乘法作成n 次对称群。 【子群】按照G 中的乘法运算·,子集H 仍是一个群。单位子群{1}和G 称为平凡子群。 【循环群】G 可以由它的某元素a 生成,即G=（a）。a 所有幂的集合an，n=0，±1，±2，… 做成G 的一个子群，由a 生成的子群。若 G 的元数是一个质数，则 G 必是循环群。 n 元循环群（a）中,元素ak 是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。共有（n）个。 【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）} 【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得 a =bh，则称a 合同于 b（右模 H），a≡b（右 mod H）。H 有限，则 H 的任意右陪集aH 的元数皆等于 H 的元数。任意两个右陪集aH 和bH 或者相等或者不相交。 求右陪集：H 本身是一个；任取 aH 而求 aH 又得到一个；任取 bH∪aH 而求 bH 又一个。G=H∪aH∪bH∪… 【正规子群】G 中任意 g，gH=Hg。（H=gHg-1 对任意 g∈G 都成立） Lagrange 定理 G 为有限群，则任意子群H 的元数整除群G 的元数。 1 有限群G 的元数除以H 的元数所得的商，记为（G：H），叫做 H 在 G 中的指数，H 的指数也就是H 的右（左）陪集的个数。 2 设 G 为有限群,元数为n,对任意 a∈G，有an=1。 3 若 H 在 G 中的指数是2，则 H 必然是G 的正规子群。证明：此时对H 的左陪集aH，右陪集Ha，都是G 中元去掉 H 的所余部分。故 Ha=aH。 4G 的任意多个子群的交集是G 的子群。并且，G 的任意多个正规子群的交集仍是G 的正规子群。 5 H 是G 的子群。N 是G 的正规子群。命 HN 为H 的元素乘N 的元素所得的所有元素的集合，则 HN 是G 的子群。 【同态映射】K 是乘法系统，G 到 K 的一个映射σ （ab）=σ （a）σ （b）。 设（G，*），（K，+）是两个群，令σ ：xe，xG，其中e 是K 的单位元。则σ 是G 到 K内的映射，且对a，bG，有σ （a*b）=e=σ （a）+ σ （b）。即，σ 是G 到 K 的同态映射，G～σ （G）。σ （G）={e}是K 的一个子群。这个同态映射是任意两个群之间都有的。 【同构映射】K...