§171格林公式及曲线积分与路径无关的条件VIP免费

第十七章 各类积分的联系 回顾: 一元函数积分学:)()()('aFbFdxxFba §17-1 格林公式及曲线积分与路径无关的条件 一、格林公式 概念:单连通区域, 复连通区域; 正向; 格林定理:设闭区域2RD ,是由有限多条分段光滑的闭曲线 所围成. 函数),(),,(yxQyxP在 D 上具连续的一阶偏导,则有 dyPxQQdyPdxD)( (格林公式) 其中  是取正向 记: 图示 光设 D(既是 X 型又是 Y 型)即穿过区域 D 内部且平行于坐 标轴的直线与 D 的边办曲  的交点恰两点 . 设 D:bxa, )()(21xyx dxxxPxxPdyyyxPdxdxdyyPbabaxxD)(,)(,),(12)()(21 dxxxPxxPdxxxPdxxxPPdxPdxPdxbaabba)(,)(,)(,)(,212112 因此 PdxdxdyyPD 设 D:dyc )(2)(1yyx 类似可证 DQdydxdyxQ 即得格林公式 例 1:计算曲线积分ydxxdyxy22  :(1)222ayx 逆时针 (2)222ayx 上半部分, x 轴,逆 解:yxP2 2xyQ 2xyP 2yxQ  由 Green 公式 (1)uadrrddxyydxxdyxyaD4200322222)(计算曲线积分 (2)403022224)(adrrddxyy dxxdyx yaD 例2:计算椭圆12222byax所围面积A. 解:  :常数方程 taxcos tbysin abdttatbtbtay dxx dyA20)sin(sincoscos2121 例3:计算22yxy dxx dyI,其中 是 (1)使所含区域D 不含原点的分段光滑封闭曲线,沿正向 (2) 含原点但不径原点 解:22yxyP 22yxxQ 22222)(yxxyypx (1) 满足Green Th 连续条件 Ddyxy dxx dyI0022 (2) 不满足Green Th 连续条件 选取适当小的0,作圆周 :222 yx(使 全部含于 所围区域) 记围成D, 于是在1D 内, 格林公式成立   001Dd 故 2222yxy dxx dyyxy dxx dy 法一:右式2)sin(cos2sin,cos202dyx学数方程 法二:右式222221122yxGdy dxx dy公式 二、平面上单边通区域内曲...