§3柯西积分公式及其推广VIP免费

22 第三章 复变函数的积分(II) §3 -3 柯西公式【教材 P 36-42】 (一) 单连通区域中的柯西公式 柯西公式： 设复变函数 fz 在闭单连通区域D（Dl ）中解析(l 是区域D 的边界线)， 则 fz 在区域 D 内任一点  D 的值可由沿边界线的积分确定（积分路径沿区域边界线的正方向进行）:  12lfzfdziz，  2()lfzdzifz， 柯西公式说明： 解析函数在其解析区域内任一点的函数值可由函数在该区域边界上的值来确定。这是解析函数的重要性质之一。 证明： 对于任意固定的D ，由前面的例子知: 1112ldziz 两边乘以  f  ，得: 12lffdziz, 因此只要证明:   0lfzfz，即得:    2llfzfdzdzifzz， 这就证得柯西积分公式。 23   fzfz作为z 的函数在D 内除z点外均解析。以z为圆心，很小的 为半径，作圆周c 。由复连通区域的柯西定理，得:     lcfzffzfdzdzzz， 上式表明右边的积分是与c 的半径 无关的，所以:     0limccfzffzfdzdzzz 而     max2ccfzffzfdzzz  max2ccfzfz     max22maxccfzffzf 当0 时，c （ z），由于  fz 是连续的，则:   0lim max0cfzf， 00limlim2m ax0ccfzfdzfzfz， 00lim0lim0ccfzffzfd zd zzz。 从而     0lim0lcfzffzfdzdzzz。    2lllfzfdzdzdzfifzzz，   12lfzfdziz。 24 例1：利用柯西公式证明: 2ldziza，l 为以za为圆心， 为半径的圆周（积分的环绕方向为沿逆时钟方向）。 证明：设( )1fz, 则( )2( )2lldzfz dzifaizaza 例2：设l 代表圆周22...