“三垂足一线”基本图形的特征与应用VIP专享VIP免费

1 “三垂足一线”基本图形的特征与应用 北 京 市 东方培新学校 黄清华 100025 北 京 市 教育学院朝阳分院 吴江媛 100026 初中几何研究的是平面图形的性质，而这些千变万化的图形都是由一些最简单、最基本的图形组合而成的，“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，利用直观来进行思考”正是义务教育《数学课程标准》在几何方面对学习的学习要求． 笔者在八年级全等三角形及九年级相似三角形的教学中，发现“三垂足一线”基本图形的性质在解题中应用很广，尤其近几年在中考模拟题中，也出现了由此基本图形引发的综合问题。 下面就举例说明“三垂足一线”基本图形的性质及其应用． 一、“三垂足一线”基本图形及其基本特征 1．基本图形及其特征 如图 1，AB⊥BC，DC⊥BC，AP⊥PD，且 P 在直线 BC 上． PDABC PADBC 图 1 由于三垂足 B、C、P 在一条直线上，故命名为“三垂足一线”基本图形． 不难看出图中有一对相似三角形，即△ABP∽△PCD.由此我们得到如下性质： 2 ．“三垂足一线”基本图形的性质 性质：若AB⊥BC，DC⊥BC，AP⊥PD，且 P 在直线 BC 上．则AB·CD= PB·PC. 证明：因为 AB⊥BC，所以 ∠APB+∠BAP=90° ，因为 AP⊥PD，且 P 在直线 BC 上，所以 ∠APB+∠CPD=90°，所以 ∠BAP=∠CPD． 在 △ABP 和 △PCD中 ， ∠ABP=∠PCD=90° ， ∠BAP=∠CPD, 所以 △ABP∽△PCD． 2 所以 ABBPPCCD，所以 AB CDPC PB． 二、“三垂足一线”基本图形在解题中的应用 1 ．矩形折叠问题 例 1 如图2，矩形纸片ABCD 中，AB=4,沿AE 对折△ADE，使点D 落在BC 上的点F 处，BF=3,FC=2 求CE 的长． FDABCE 234FABCE 图2 图3 根据轴对称图形的性质，由折叠可得AFE=ADE=90°，再由已知的两个垂直条件，可得到“三垂足一线”基本图形（如图3），直接由性质得到AB CEFC FB，即43 2CE  ，所以3 2342CE． 例 2 如图4，将边长OA=8，OC=10 的矩形OABC 放在平面直角坐标系中，顶点O 为原点，顶点C、A 分别在x 轴和y 轴上.在OA 、OC 边上选取适当的点E 、F，连接EF，将△EOF 沿EF 折叠，使点O落在AB 边上的点D 处．当点F 与点C 重合时，求OE 的长度． yxEBAC(F)OD 图4 图5 解析：根据轴对称图形的性质，由折叠可得△EOF≌△EDF ，知∠EDC=∠EOC=90°，OC=DC=10，在直角三角形DBC 中，...