“数值计算方法”MATLAB实验指导VIP免费

1 “数值计算方法”上机实验指导书 重庆交通大学计算机与信息学院 邹昌文编 实验一 误差分析 实验1 .1 （病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1()()20()2)(1()(201kkxxxxxp 显然该多项式的全部根为 1,2,…,20 共计20 个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0)(19 xxp 其中 是一个非常小的数。这相当于是对（1.1）中19x的系数作一个小的扰动。我们希望比较（1.1）和（1.2）根的差别，从而分析方程（1.1）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个 MATLAB 函数：“roots”和“poly ”。 roots(a)u  其中若变量 a 存储 n+1 维的向量，则该函数的输出 u 为一个 n 维的向量。设 a 的元素依次为121,,,naaa，则输出 u 的各分量是多项式方程 01121nnnnaxaxaxa 的全部根；而函数 p o l y ( v )b  的输出 b 是一个 n+1 维向量，它是以 n 维向量 v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 2 ))20:1((;)2();21,1(;000000001.0vepolyrootsessvezerosveess 上述简单的MATLAB 程序便得到（1.2）的全部根，程序中的“ess”即是（1.2）中的 。 实验要求： （1）选择充分小的ess，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。如果扰动项的系数 很小，我们自然感觉（1.1）和（1.2 ）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现？表明有些解关于如此的扰动敏感性如何？ （2）将方程（1.2）中的扰动项改成18x或其它形式，实验中又有怎样的现象出现？ （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将方程（1.2）写成展开的形式， )3.1(0),(1920xxxp 同时将方程的解 x 看成是系数 的函数，考察方程的某个解关于 的扰动是否敏感，与研究它关于 的导数的大小有何关系...