求解抛物型方程反问题的一个稳定的数值算法

1 / 3 求解抛物型方程反问题的一个稳定的数值算法摘要在本文中，在热传导反问题（IHCP ）的条件下，我们考虑一个未知边界的数值分析方法。给出的热传导方程，边界条件，和初始条件都是一个无限维的形式。为解决反问题的数值算法基于有限差分法和最小二乘法。为了规范所得的奇异线性方程组，我们采用吉洪诺夫正则化方法来获得稳定的数值近似解。关键词：热传导反问题，有限差分法，一致性，稳定性，正则化方法。1。简介到目前为止， 为了分析反问题和热传导反问题，通过测量内部温度以及对热通量的估计，我们已经研究出了各种方法本文旨在确定一个未知函数在IHCP 中的计算。通过使用一个位于身体内一个点的传感器并测量在这一点的温度，然后对这一问题应用有限差分法计算，从而确定了这一问题的一个稳定的数值解。本文的安排如下：在第2 节中，我们制定了一个一维的IHCP 。在第 3 节中，用有限差分法离散来求解IHCP 。最小二乘法和吉洪诺夫正则化方法将在第4 节中讨论。最后的数值实验将在第5 节给出。2。IHCP 的一个计算公式在这一节中， 让我们考虑以下 IHCP ：,0),(),1(,0),(),0(,10),()0,(,0,10),,(),(TttqtUTttptUxxfxUTtxtxUtxUxxt，并且：,0,10),(,11TtxttxU）（其他的都已知，只有q(t)未知，也就是待求的。3。数值方法概述：为了解决上述问题，我们假定q（t）已知，用如下公式离散上述问题：jijijijiuruurru,1,11,1,1)21(，其中：,,1,)(,,2TtMxNxtrtjtxix则上述离散公示可写为：,DAX用这一迭代公式，可以一次求出所有点的值。2 / 3 定理 1：若 U 是上述问题的精确解，则当N 趋于无穷时，误差jijijiuUe,,,是趋于 0 的。定理 2：上述离散公式是无条件稳定。4。最小二乘法和吉洪诺夫正则化上文中提到的i 可由最小二乘法来确定，当1, jvu和))1((kj在xvxx1时是很小的，如 0.001 。则 E 可表示为1021,0)))1(((),,(MjjvrkjuE，要将其最小化，转而解决以下方程组：000EE。为了确定i ，可以解决如下方程：BA（13），其中 A 是）（）（11的矩阵，),,('0。在数学上， IHCPs 属于不适定问题类，即测量数据的小误差可导致的估计数量的大偏差。 不适定性估计问题的物理原因是，热传导的扩散在固体表面引起的阻尼的变化。 结果是， 表面的大振幅的变化源于测量数据的小振幅的变化。数据中的误差和噪声可以被误认为是引起通计过程中表面状态变化的原因。由于矩阵是奇异的，方程（ 13）的解可以由噪声数据的一个大...