求解通项公式的常用方法

百度文库- 让每个人平等地提升自我1 求解数列通项公式的常用方法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。一．观察法 (猜想法 ) 由数列的前几项的特点观察猜想出数列的通项公式，关键是找出各项与项数n 的关系。例 1：根据数列的前4 项，写出它的一个通项公式：（1）9，99，999，9999，⋯（ 2）,17164,1093,542,211（3）,52,21,32,1（4）,54,43,32,21（5）） 246810,,,,,3 15 35 63 99析:（1）110nna（ 2）;122nnnan（3）;12na n（4）1)1(1nnann. （5）22121nnann二、 定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例 2．等差数列na是递增数列，前n 项和为nS ，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式 .解：设数列na公差为)0(dd 931,,aaa成等比数列，∴9123aaa，即)8()2(1121daadadad12 0d，∴da1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯① 255aS∴211)4(2455dada⋯⋯⋯⋯②由①②得：531a，53d∴nnan5353)1(53点评： 利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。三、 累加法（叠加法）求形如1( )nnaaf n （f(n) 为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，⋯ n— 1 得到 n— 1 个式子累加求得通项。121321211()()()()(2)(3)(n1)(n)nnnnnaaaaaaaaaaaffff???例 3 已知数列 {}na满足11211nnaana，，求数列 {}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则评注：本题解题的关键是把递推关系式1n2aan1n转化为1n2aan1n，进而求出112232n1n1nna)aa()aa()aa()aa(所以数列 {}na的通项公式为2nan 。即得数列}a{n 的通项公式。四、累积法（叠乘法）对形如1(n)nnafa的数列的通项，可用累乘法，即令n=2 ，3，⋯ n— 1 得到 n— 1 个式子累乘求得通项。121321212()()()()1(211)(221)[2(2)1][2(1)1]135(23)(21)(12 n1)2nnnnnaaaaaaaaaannnnnn百度文库- 让每个人平等地提升自我2 312111221(2)(3)(n1)(n)nnnnnaaaaaaaffffaaaa??????????例 4：在数列｛na｝中，1a=1, (n+1) ·1na=n·na，求na的表达式。解：由 (n+1)·1na=n·na得11nnaann，即11nnananna =211aaa·23aa·34aa⋯1nnaa=1 2 31112 3 4nnn所以na n1五、公式法：若...