求通项公式的几种方法

求通项公式的几种方法山东徐美春聂洪玉数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面介绍几种求数列通项公式的方法．一、观察法已知一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式．例1观察下列数的特点，写出每个数列的一个通项公式．（1）2 1 213 2 5，，，； （2）2 3453 815 24，，，．解：（1）21nan；（2）21( 1)(1)1nnnan．二、由na的前 n 项和nS 与na 间的关系，求通项已知数列na的通项公式， 可以求出na的前 n 项和123nnSaaaa ；反过来，若已知na的前 n 项和nS ，如何求na 呢？1211121(2)nnnnnSaaaaSaaan，∵≥，当1n时，11aS ；当2n≥时，1nnnaSS，故11(1)(2).nnnSnaSSn，≥此处应注意1nnnaSS并非对所有的nN 都成立，而只对当2n≥且为正整数时成立，因此由nS 求na 时必须分1n和2n≥两种情况进行讨论．例2设数列na的前 n 项和23()nSnn nN，求数列na的通项公式．解： 当1n时，2113112aS；当2n≥时，22133(1)164nnnaSSnnnnn．此式对1n也适用．64()nannN．点评： 利用数列的前n 项和nS 求数列的通项公式na 时，要注意1a 是否也满足1(2)nnnaSSn≥得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出．三、利用公式求通项公式已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差代入公式即可求出通项．例 3等差数列的前n 项和记为nS ，已知10203050aa，，求通项na ．解：10193 0aad∵，①2 01 1 95 0aad，②②－①，得 10202dd，．代入①，得112a．210nan．四、利用递推关系，求通项公式根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法， 消去中间项求通项公式．例 4根据下列条件，求数列的通项公式()nanN．（1）数列na中，212 33(2)nnaaan，≥；（2）数列na中，1113nnaaan，；（3）数列na中，1111nnnaaaan，．解：（1）因为213aa，所以1233aa．又13nnaa，所以na成等差数列，公差为3 ．所以3(1) 33nann ．（2）因为13nnaan ，所以2131aa，3232aa，4333aa，，13(1)nnaan．将上面1n个式子叠加，得21(1)33(1231)3()22nnnaannn ，所以223331()1222nannnn．（3）由11nnnaaan，变形为121nnanan，2132aa，321413nnaanaan， ，．将上面的式子叠乘，得112nana．1 (1)2nan．五、两式相减，消项求通项例5数列na满足12323(1)(2)naaanan nn，求na ．解： 由题意123123(1)(1) (1)(2)naaanann nn ≥，又12323(1)(2)naaanan nn，两式相减，得3 (1)nnan n．3(1)nan．又1n时，也适合上式，3(1)nan．总之，求数列通项公式的方法有很多，同学们要在实践中注意总结，寻找解题规律．