人教版高中数列知识点总结(知识点+例题)

Lesson6 数列 知识点1：等差数列及其前n 项 1．等差数列的定义 2．等差数列的通项公式 如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式an＝a1＋(n－1)d . 3．等差中项 如果 A＝a＋b2 ，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 4．等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋（n-m）d，(n，m∈N*)． (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d. (4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列． (5)若{an}是等差数列，公差为d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，„(k，m∈N*)是公差为md 的等差数列． 5．等差数列的前n项和公式 设等差数列{an}的公差d，其前n项和 Sn＝na1＋an2或 Sn＝na1＋nn－12d. 6．等差数列的前n项和公式与函数的关系 Sn＝d2n2＋a1－d2 n.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn，(A、B 为常数)． 7．等差数列的最值 在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则 Sn存在最 大 值；若 a1<0，d>0，则 Sn存在最 小 值． [难点正本 疑点清源] 1．等差数列的判定 (1)定义法：an－an－1＝d (n≥2)； (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2. 2．等差数列与等差数列各项和的有关性质 (1)am，am＋k，am＋2k，am＋3k，„仍是等差数列，公差为 kd. (2)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，„也是等差数列． (3)S2n－1＝(2n－1)an. (4)若 n为偶数，则 S偶－S奇＝n2d. 若 n为奇数，则 S奇－S偶＝a中(中间项)． 例 1（等差数列的判定或证明）：已知数列{an}中，a1＝35，an＝2－1an－1 (n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足 bn＝1an－1 (n∈N*)． (1)求证：数列{bn}是等差数列； (2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 an＝2－1an－1 (n≥2，n∈N*)，bn＝1an－1. ∴n≥2 时，bn－bn－1＝1an－1－1an－1－1 ＝12－1an－1－1－1an－1－1 ＝an－1an－1－1－1an－1－1＝1. ∴数列{bn}是以－52为首项，1 为公差的等差数列． (2)解 由(1)知，bn＝n－72，则an＝1＋1bn＝1＋22n－7， 设函数f(x)＝1＋22x－7， 易知f(x)在区间－∞，72 和72，＋∞ 内为减函数． ∴当n＝3 时，an 取得最小值－1；当n＝4 时，an 取得最大值3. 例 2（等差数列的基本量的计算）设 a1，d 为实数，首项为 a1，公差为 d 的等差数列{an}的...