关于涉及高数定理的高考压轴题的初等作法

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2024-12-22 发布于天津市
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关于涉及高数定理的高考压轴题的初等作法 1.拉格朗日中值定理：如果函数f(x)在[a，b]上连续可导，则至少存在一点c，使得f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)（a丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨≤k 当x2→x1 时，丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨=f'(x1)≤k<=>丨f'(x) 丨≤k i 丨f(x2)-f(x1)丨≤k 丨x2-x1丨(不妨设 x2≥x1） <=>当f(x2)≥f(x1)时，f(x2)-kx2≤f(x1) -kx1 当f(x1)≥f(x2)时，f(x2)+kx2≥f(x1)+kx1 令 h1(x）=f(x)-kx h2(x)=f(x)+kx 由 i 知 h1'(x ）=f'(x)-k≤0 h2'(x)=〔丨f'(x) 丨^2-k^2〕/h1'(x ）≥0 =>当f(x2)≥f(x1)时，f(x2)-kx2≤f(x1) -kx1 当f(x1)≥f(x2)时，f(x2)+kx2≥f(x1)+kx1 =>k≥丨f'(x) 丨max 06年四川高考理数21 已知函数f(x)=x^2+2/x+alnx,f(x）的导数为 f'(x),对任意两个不相等的正数x1、x2 证明：当a<4时，丨f'(x1)-f'(x2)丨>丨x1-x2丨解：丨f'(x1)-f'(x2)丨>丨x2-x1丨 <=>丨〔f(x2)-f(x1)〕／（x2-x1)丨>1 当x2→x1 时，丨〔f(x2)-f(x1) 〕／（x2-x1)丨=丨f'(x1) 丨>1<=> 丨f''(x) 丨>1 i =>a<4/x+x^2<4 丨f'(x2)-f'(x1) 丨>丨x2-x1丨(不妨设 x2≥x1） <=> 当f'(x2)≥f'(x1)时，f'(x2)-x2>f'(x1)-x1 ii 当f'(x1)≥f'(x2)时，f'(x2)+kx20 h2'(x)=〔丨f'(x) 丨^2-1〕/h1'(x ）-1<0 =>ii 、iii 成立=>丨f'(x2)-f'(x1) 丨>丨x2-x1丨（当a<4时) 2.L 'Hopital法则如果函数f(x) 与 g(x) 在a 附近连续，且 f(a)=g(a)=0 那么 limx→a f(x)/g(x)=f'(a)/g'(a) 初等作法：形如f(x)≥g(x)或f(x)≤g(x）(g(x)含有 k，f(a)=g(a)=0），求 k 的取值范围（PS：我想没有人会单纯的想到通过极值求a 范围，出题那货可不简单）初等作法： f(x)≥g(x)<=>f(x) -g(x)≥0 令 h(x)=f(x)-g(x)，h(a)=h'(a)=0 i =>h''(a ）≥0=>k 的取值范围 =>h''(x ）≥0=>h'(x)≥0=>h(x)≥0 =>f(x)≥g(x) (对于 i 处我想不少同学对 h'(a)=0 感到困惑，大家可以在我之前证明洛必达法则的帖子里其中一个证明得到启发） 2010 全国高考理数 22 已知 f(x)=1-e^-x 当 x≥0 时，f(x)≤x/(ax+1) f(x)≤x/(ax+1)<=>f(x) -x/(ax+1)≤0 i...

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