初等数论第一次作业解答

《初等数论》第一次作业解答： 一、单项选择题 1、),0(b（C ）. A b B b C b D 0 2、如果ab，ba，则(D ). A ba  B ba C ba  D ba 3、如果1),(ba，则),(baab=（C ）. A a B b C 1 D ba  4、小于 30 的素数的个数（A ）. A 10 B 9 C 8 D 7 5、大于 10 且小于 30 的素数有（ C ）. A 4 个 B 5 个 C 6 个 D 7 个 6、如果n3，n5，则 15（A ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 7、在整数中正素数的个数（C ）. A 有 1 个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 二、计算题 1、 求 24871 与 3468 的最大公因数? 解： 24871=3468 7+595 3468=595 5+493 595=493 1+102 493=102 4+85 102=85 1+17 85=17 5, 所以,(24871,3468)=17. 2、 求[24871,3468]=? 解：因为 （24871,3468）=17 所以 [24871,3468]= 17346824871  =5073684 所以 24871 与 3468 的最小公倍数是 5073684。 3、求[136,221,391]=? ; 三、证明题 1、如果ba,是两个整数,0b,则存在唯一的整数对rq,,使得rbqa,其中br 0. 证明 ：首先证明唯一性.设q,r是满足条件的另外整数对,即 rqba,br 0. 所以rbqrqb, 即rrqqb,rrqqb. 又由于br 0,br 0,所以brr.如果qq,则等式rrqqb不可能成立. 因此qq,rr. 其次证明存在性.我们考虑整数的有序列 ……,,3,2,,0,,2,3bbbbbb…… 则整数a 应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q 使 bqaqb1. 我们设qbar,则有rbqa,br 0. 2 、证明对于任意整数n ,数62332nnn是整数. 证明： 因为62332nnn=)32(62nnn=)2)(1(61nnn, 而且两个连续整数的乘积是 2的倍数,3个连续整数的乘积是 3的倍数, 并且(2,3)=1, 所以从)2)(1(2nnn和)2)(1(3nnn有)2)(1(6nnn, 即62332nnn是整数. 3 、任意一个 n 位数121aaaann与其按逆字码排列得到的数nnaaaa121的差必是 9的倍数. 证明： 因为 121aaaann122111 01 01 0aaaannnn, nnaaaa121=nnnnaaaa1 01 01 012211, 所以,121aaaann-nnaaaa121= ).1 01()1 01(1 0)11 0(1 0)11 0(113231...