初等数论第三章数的表示

65 第三章 数的表示 对于数的十进制表示，我们已经是很熟悉的了。本章主要介绍实数的b 进制表示和连分数表示，以及一些基本知识。 第一节 实数的b 进制表示法 本节介绍实数的b 进制表示法。 定理１ 设 b 是大于１的整数，则任何正整数a 都可以写成 a = akbk  ak  1bk  1    a1b  a 0 的形式，其中 ak  0，ai（0  i  k）是在 0 与 b  1 之间唯一确定的整数。 证明 由带余数除法，有整数k，使得 a = q1b  a0， 0  a0  b  1， q1  b， q1 = q2b  a1， 0  a1  b  1， q2  b，   qk  1 = qkb  ak  1，0  ak  1  b  1，0 < qk  b  1， 其中诸 ai 与 qi 都是唯一确定的。记 qk = ak，则 0 < ak  b  1，并且 a = q1b  a0 = (q2b  a1)b  a0 = q2b2  a1b  a0 = (q3b  a2)b2  a1b  a0 = q3b3  a2b2  a1b  a0 =  = akbk  ak  1bk  1    a1b  a0 。 证毕。 定理２ 设 b 是大于1 的整数，则任何小于1 的正实数都可以写成  = 1iiiba ，0  ai  b  1，i  1。 (1) 66 如果对于任意的正整数m，都有某个n > m，使得an  b  1，则的表示式(1)是唯一的。 证明 记 a1 = [b]，则 0  a1  b  1。 记1 = b  a1，则0  1 < 1，并且  =bba11。 如果1 = 0，则定理得证。如果0 < 1 < 1，则重复上述过程，有 1 =bba22，0  a2  b  1，0  2 < 1。 将这样的过程进行 k 次之后，我们得到  =kkkkbbababa221， (2) 其中 0  ai  b  1（0  i  k），0  k < 1。如果k = 0，则定理得证。如果总是k  0（k  1），不断进行以上过程，我们就得到了一个无穷级数 1iiiba ，0  ai  b  1，i  1。 因为 kkb 0（k ）， 所以，由式(2)可知  =1iiiba 。 下面证明式(1)的唯一性。设  =11iiiiiibcba，0  ai, ci  b  1，i  1。 (3) 此时，若有正整数k，使得ai = ci ，（1  i  k  1），ak  c...