初等数论第六章平方和

144 第六章 平方和 本章中要研究整数用整数的平方数之和表示的可能性，即对于给定的整数n，是否存在整数x1，x2，x3，x4，使得 n = x12  x22，n = x12  x22  x32，n = x12  x22  x32  x42 成立？以下，“平方和”或“平方数之和”是指“整数的平方数之和”。 第一节 二平方之和 定理 1 若正整数n 可以表示成两个整数的平方之和，则在它的标准分解式 kkpppn2121 中，形如 4k  3 的素因数的指数是偶数。 证明 设 n = x2  y2，pi 是n 的形如 4k  3 的素因数。记 p =iaip，则 pn，p  1 | n，x2  y2  0 (mod p)。 (1) (ⅰ) 若 p | y，则存在整数y，使得yy  1 (mod p)，于是由式(1)得到 (xy)2  1  0 (mod p)， 即 1 QR(p)。因此由第五章第五节定理 3 推论，有 p = 2 或 p  1(mod 4)， 这是不可能的。 (ⅱ) 若 py，则由式(1)可知 px，以及 22)()(pypx 0 (mod p  2)。 (2) 下面说明，必是偶数，否则，将导致矛盾。 若 = 2m  1，则类似于上面的推导，依次得到 145 2222)()(pypx 0 (mod p  4)。 2323)()(pypx 0 (mod p  6)。   22)()(mmpypx 0 (mod p)。 (3) 若pmpy|，则由结论(ⅰ)可知 p  1 (mod 4)，这不可能，所以 pm  1y，从而 pm  1x，于是 p  1 = p2(m  1)n，这与式(1)矛盾。证毕。 引理 设 n，m, x，y，和 k 都是整数，p 是素数， x2  y2 = p，n2  m2 = pk， (4) 则k 可以表示成二平方之和。 证明 由式(4)，有 n2  m2 (mod p)，x2  y2 (mod p)， (5) n2x2  m2y2 (mod p)， (nx  my)(nx  my)  0 (mod p)， 因此，必有 nx  my 或 nx  my (mod p)。 若nx  my (mod p)，则由式(4)得 (nx  my)2  (ny  mx)2 = (x2  y2)(n2  m2) = p2k， 于是 p│ny  mx，因此 kpmxnypmynx22)()(。 若nx  my (mod p)，类似地可以证明 k 能表示成二平方数之和。证毕。 定理 2 对于任意的自然数 n，n2  1 的素因数都可以表示成二平方数之和。 证明 用归纳法。 当 n = 1 时，结论显然成立。 假设当 n < m（m > ...