量子力学考研参考试题（一）一. （见 1997 年第二题）证明：（1） 若一个算符与角动量算符J?的两个分量对易， 则其必与 J?的另一个分量对易；（ 2） 在2?J与zJ?的共同本征态JM下，xJ?与yJ?的平均值为零， 且当JM时，测量xJ?与yJ?的不确定性为最小。证明：（1） 设算符 F? 与角动量算符xJ?及yJ?皆对易，即0?,??,?yxJFJF则0??,?i1??,?i1?,?,?i1?,?xyyxyxzJJFJJFJJFJF同理可知， 若算符 F? 与角动量算符xJ?及zJ?皆对易，则算符 F?必与yJ?对易；若算符 F?与角动量算符yJ?及zJ?皆对易，则算符 F?必与xJ?对易，于是，问题得证。（2）在2?J与zJ?的共同本征态JM下，xJ?与yJ?的平均值为JMJJJMJMJJMx??21?由升降算符的修正可知1)1()1(?JMMMJJJMJ于是有0? JMJJMx同理可证，算符yJ?在 JM下的平均值也未零。在JM态上，22222)1(21??21????41????41?MJJJMJJJMJMJJJJJMJMJJJJJMJMJJMx同理可得222)1(21?MJJJMJJMy故有42222)1(41MJJJJxx或者写为22)1(21MJJJJyx显然，当JM时，上式取最小值2min2JJJyx二. （见 2001 年第二题） 粒子作一维运动， 当总能量算符为xVpH2??20时，能级是0nE，如果总能量算符变成pHH???0（为实参数），求粒子能级的严格解nE。解： 视为参变量，则有pH??利用费曼 -海尔曼定理可知npnnHnEn?1?又知pppxHxtx?1?2?,i1?,i1dd2在任何束缚态n下，均有0??i1?,i1ddnxHHxnnHxnntxn所以，npn ?进而得到能量本征值满足的微分方程nE对上式作积分，得到cE n22利用0 时，0??HH，定出积分常数0nEc最后，得到 H? 的本征值为220nnEE三.一维谐振子的哈密顿算符为222212??xmmpH引入无量纲算符，xmQ?；pmP?1?；PQa?i?21?；PQa?i?21?（1） 计算PQ ?,?，aa ?,?，aaa??,?，aaa??,?；（2） 将 H? 用 a? 与 a?表示，并求出全部能级。解：（1）计算对易关系i?,1?1,?,?pxpmxmPQ1?,?i21?i,?21?i?21,?i?21?,?QPPQPQPQaaaaaaaaaaaa???,??,????,?aaaaaaaaaa???,??,????,?（2）改写哈密顿算符22222??21212??QPxmmpH而1??21?,?2i??21?i?21?i?21??2222PQPQPQPQPQaa所以，有21???aaH下面求解上述哈密顿算符满足的本征方程。对任何态矢，均有0??2aaa因此，21?H若是哈密顿算符的本征态E，则EHEE?，即21E上式说明能量的下限为21。用aH ?? 作用 H? 的任意一个本征态'E上，利用aaaaHa???,??,?可知'''??????'EEEaEaHaaH若0?'Ea，则其为哈密顿算符的另一个本征态，相应的本征值为E。重复这个推理的过程， 得到,2,,'''EEE都是哈密顿算符的本...
