动点的轨迹方程

1 轨 迹 方 程 求 轨 迹 方 程 的 的 基 本 方 法 ： 直 接 法 、定义法 、相关点法 、参数法 、交轨 法 、向量法 等。 1．直接法：如果动点运动的 条件就是一些几何量的 等量关系，这些条件简单明确，不需要特殊的 技巧，易于表述成含 x,y的 等式，就得到轨 迹 方 程 ，这种方 法 称之为直 接 法 ； 例 1、 某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？ 【解析】设直径为3,2,1 的三圆圆心分别为O、 A、 B，问题转化为求两等圆P、 Q,使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B 相外切. 建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r,则 |PA|+|PO|=1+r+1.5－ r=2.5 ∴点P 在以A、 O 为焦点，长轴长2.5 的椭圆上，其方程为 3225)41(1622yx=1 ① 同理P 也在以O、 B 为焦点，长轴长为2 的椭圆上，其方程为 (x－ 21 )2+34 y2=1 ② 由①、②可解得)1412,149(),1412,149(QP，∴r=73)1412()149(2322 故所求圆柱的直径为76 cm. ◎◎双曲线的两焦点分别是1F 、2F ， 其中1F 是抛物线1)1(412 xy的焦点，两点A（ -3， 2）、B（ 1， 2）都在该双曲线上． （ 1）求点1F 的坐标； （ 2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线． 【解析】（ 1）由1)1(412 xy得)1(4)1(2yx，焦点1F （ -1， 0）． （ 2）因为A、 B 在双曲线上， 所以||||||||||||2121BFBFAFAF，|||22||||22|22BFAF． ①若||22||2222BFAF，则||||22BFAF ，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y＝ 0 时，1F 与2F 重合；当y＝ 4 时，A、 B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x＝ -1（ y≠ 0， y≠ 4）． ②若22||||2222BFAF，则24||||22 BFAF，此时，2F 的轨迹是以A、 B 为焦点，22a，2c，中心为（-1， 2）的椭圆，其方程为14)2(8)1(22yx，（ y≠ 0， y≠ 4） 2 故2F 的轨迹是直线x＝ -1 或椭圆4)2(8)1(22yx1，除去两点（-1， 0）、（ -1， 4） 评 析 ： 1、用直接法求动点轨迹一般有建系,设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”。 2、求轨迹方程一般只要求出方程即可，求轨迹却...