勾股定理与几何辅助线综合(难)

第1 页（共14 页） 勾股定理与几何辅助线综合（难） 参考答案与试题解析 一．选择题（共3 小题） 1．（2014•十堰）如图，在四边形ABCD 中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC 交DE 于点F，点G 为AF 的中点，∠ACD=2∠ACB．若 DG=3，EC=1，则 DE 的长为（ ） A．2 B． C．2 D． 【分析】根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得∠GAD=∠GDA，根据三角形外角的性质可得∠CGD=2∠GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得∠ACD=∠CGD，根据等腰三角形的性质可得 CD=DG，再根据勾股定理即可求解． 【解答】解： AD∥BC，DE⊥BC， ∴DE⊥AD，∠CAD=∠ACB，∠ADE=∠BED=90°， 又 点G 为AF 的中点， ∴DG=AG， ∴∠GAD=∠GDA， ∴∠CGD=2∠CAD， ∠ACD=2∠ACB=2∠CAD， ∴∠ACD=∠CGD， ∴CD=DG=3， 在Rt△CED 中，DE==2． 故选：C． 【点评】综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明 CD=DG=3． 2．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 BC、AC 的中点．已知∠ACB=90°，BE=4，AD=7，则 AB 的长为（ ） A．10 B．5 C．2 D．2 【分析】设 EC=x ，DC=y ，则直角△BCE 中，x 2+4y 2=BE2=16，在直角△ADC 中，4x 2+y 2=AD2=49，解方程组可求得 x 、y ，在直角△ABC 中，AB=． 【解答】解：设 EC=x ，DC=y ，∠ACB=90°， ∴在直角△BCE 中，CE2+BC2=x 2+4y 2=BE2=16 第2 页（共14 页） 在直角△ADC 中，AC2+CD2=4x2+y2=AD2=49， 解得x=，y=1． 在直角△ABC 中，AB===2， 故选 C． 【点评】本题考查了勾股定理的灵活运用，考查了中点的定义，本题中根据直角△BCE 和直角△ADC 求DC．BC 的长度是解题的关键． 3．（2015 秋•重庆校级期中）如图，已知△ABC 中，点D 在AB 上，且CD=AD=BD，点F在BC 上，过D 作DE⊥DF 交AC 于E，过F 作FG⊥AB 于G，以下结论：①△ABC 为直角三角形，②BF2+DG2=DF2+BG2，③AE2+BF2=CE2+CF2，④AG2=AC2+BG2，其中结论正确的序号是（ ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①②③④ 【分析】根据在△ABC 中，点D 在AB 上，且CD=AD=BD，点F 在BC 上，过D 作DE⊥DF 交AC 于E，过F 作FG⊥AB 于G，可得∠A=∠DCA，∠DCB=∠B，又根据三角形内角和，可以求得∠ACD=90°，从而判断①；再根据题目中的垂直条件，可以通过转化得到②是否正确；点F...