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北京四中不等式证明的基本方法、例题、测试题及答案

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不等式证明的基本方法 目标认知 学习目标: 1 、理解不等式的证明依据是不等式的概念和性质,实数的性质,以及一些基本的不等式及不等式定 理,掌握不等式的证明方法:①比较法;②分析法;③综合法;④反证法;⑤放缩法; 2 、感受与理解不等式的证明过程,能够进行合情推理与演绎推理,理解直接证明与间接证明的过程、 方法,找出证明规律. 3 、通过不等式的证明,及诸多方法的使用,感受数学的逻辑性,严密性,激发学习数学的兴趣. 重点: 不等式证明的基本方法 难点: 利用均值不等式证明不等式,放缩法证明不等式。 学习策略: ①作差比较法是证明不等式最基本的方法,一定要熟练应用; ②综合法和分析法是从证明过程的陈述形式来区分的,在探求不等式的证明途径中,两种方法经常结合 应用; ③直接证明某些不等式比较困难时,可以考虑用反证法; ④放缩法时把不等式中的某些部分的值放大或者缩小,达到证明的目的,注意应用放缩法证明不等式 时,放大或缩小要适度。 知识要点梳理 知识点一:比较法 比较法是证明不等式的最基本最常用的方法,可分为作差比较法和作商比较法。 1、作差比较法 常用于多项式大小的比较,通过作差变形(分解因式、配方、拆、拼项等)判断符号(判断差与0 的大小关系)得结论(确定被减式与减式的大小. 理论依据: ①;②;③。 一般步骤: 第一步:作差; 第二步:变形;常采用配方、因式分解等恒等变形手段; 第三步:判断差的符号;就是确定差是大于零,还是等于零,小于零. 如果差的符号无法确定,应根据 题目的要求分类讨论. 第四步:得出结论。 注意:其中判断差的符号是目的,变形是关键。 2 、作商比较法 常用于单项式大小的比较,当两式同为正时,通过作商变形(约分、化简)判断商与1 的大小得结论(确定被除式与除式的大小). 理论依据: 若、,则有①;②;③. 基本步骤: 第一步:判定要比较两式子的符号 第二步:作商 第三步:变形;常采用约分、化简等变形手段; 第四步:判定商式大于1 或等于1 或小于1。 如果商与1 的大小关系无法确定,应根据题目的要求分类讨论. 第五步:得出结论。 注意:作商比较法一般适合含“幂”、“指数”的式子比较大小。 知识点二:分析法 分析法是从需要证明的命题出发,分析使这个命题成立的充分条件,逐步寻找使命题成立的充分条件,直至所寻求的充分条件显然成立,或由已知证明成立,从而确定所证的命题成立...

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