1 高中数学高考综合复习 专题三十八 导数及其应用 一、知识网络 二、高考考点 1 、导数定义的认知与应用； 2 、求导公式与运算法则的运用； 3 、导数的几何意义； 4 、导数在研究函数单调性上的应用； 5 、导数在寻求函数的极值或最值的应用； 6 、导数在解决实际问题中的应用。 三、知识要点 （一）导数 1 、导数的概念 （1 ）导数的定义 （Ⅰ）设函数 在点 及其附近有定义，当自变量 x 在 处有增量△x （△x 可正可负），则函数y 相应2 地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数（或变化率），记作 ，即 。 （Ⅱ）如果函数 在开区间（ ）内每一点都可导，则说 在开区间（ ）内可导，此时，对于开区间（ ）内每一个确定的值 ，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间（ ）内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间（ ）内的导函数（简称导数），记作 或 ， 即 。 认知： （Ⅰ）函数 的导数 是以 x 为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 当 时的函数值。 （Ⅱ）求函数 在点 处的导数的三部曲： ①求函数的增量 ； ②求平均变化率 ； ③求极限 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 （2 ）导数的几何意义： 函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。 （3 ）函数的可导与连续的关系 函数的可导与连续既有联系又有区别： 3 （Ⅰ）若函数 在点 处可导，则 在点 处连续； 若函数 在开区间（ ）内可导，则 在开区间（ ）内连续（可导一定连续）。 事实上，若函数 在点 处可导，则有 此时， 记 ,则有 即 在点 处连续。 （Ⅱ）若函数 在点 处连续，但 在点 处不一定可导（连续不一定可导）。 反例： 在点 处连续，但在点 处无导数。 事实上， 在点 处的增量 当 时， ， ； 当 时， ， 由此可知， 不存在，故 在点 处不可导。 2、求导公式与求导运算法则 （1）基本函数的导数（求导公式） 公式 1 常数的导数： （c 为常数），即常数的导数等于 0。 公式 2 幂函数的导数： 。 4 公式3 正弦函数的导数： 。 公式4 余弦函数的导数： 公式5 对数函数的导数： （Ⅰ） ； （Ⅱ） 公式6 指数函数的导数： （Ⅰ） ； ...
