北京大学2008 年保送生和自主招生数学试题解答 这套题的难度还是相当大的，这里的解答也不是我一个人做出来的，有我自己做的，有同学帮着做的，也有网上的解答。在网上我还没发现这套题目的完整解答，所以我写了这篇Blog，希望对众多有意考北大的人能够提供一些帮助。 1.证明：边长为1 的正五边形的对角线长为(1+√5)/2 证明：经鉴定，这是一道初中数学题，我就不写详细的解答了，用相似三角形就证出来了。 2. 已知一个六边形AB1CA1BC1，AB1=AC1，CB1=CA1，BA1=BC1，∠A+∠B+∠C=∠A1+∠B1+∠C1。证明：三角形ABC 面积为六边形的一半。 证明：如图，把三角形AB1C 转至 AC1D的位置，连接 BD，则很明显三角形BDC1与三角形BA1C 全等，所以三角形ABC 和三角形ADB全等，故三角形ABC 面积为六边形的一半。 3．已知实数a1、a2、a3、b1、b2、b3满足：a1+a2+a3 = b1+b2+b3, a1^2 + a2^2 + a3^2 = b1^2 + b2^2 + b3^2 且min{a1, a2, a3}≤min{b1, b2, b3} 证明：max{a1, a2, a3}≤max{b1, b2, b3}。 证明：令 a1 a2 a3 为 y=x^3+px^2+qx^1+m的三根 则 b1 b2 b3 可以是 y=x^3+px^2+qx^1+n的三根（三次方程的韦达定理） 两曲线仅仅是上下平移的关系 显然当最小根左移时最大根也左移 4．排球单循坏赛 南方球队比北方球队多 9支 南方球队总得分是北方球队的 9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得 1 分 败得 0分） 解：设北方球队共有 x 支，则南方球队有 x+9支 所有球队总得分为 南方球队总得分为 北方球队总得分为 南方球队内部比赛总得分 北方球队内部比赛总得分 解得： 因为为整数 x=6或 x=8 当 x=6时 所有球队总得分为=210 南方球队总得分为=189 北方球队总得分为=21 南方球队内部比赛总得分=105 北方球队内部比赛总得分=15 北方胜南方得分=21-15=6 北方球队最高得分=5+6=11 因为11×15=165<189 所以南方球队中至少有一支得分超过 11 分． 冠军在南方球队中 当 x=8时 所有球队总得分为=300 南方球队总得分为=270 北方球队总得分为=30 南方球队内部比赛总得分=136 北方球队内部比赛总得分=28 北方胜南方得分=30-28=2 北方球队最高得分=7+2=9 因为9×17=153<270 所以南方球队中至少有一支得分超过 9 分． 冠军在南方球队中 综上所述，冠军是一支南方球队 5. 立体直角坐标系 xyz，在 xy平面上有图形 0<=y<=2-x^2，将此图形绕 y轴旋转得到一个不...
