熟练运用旋转解决平面几何中的问题平面几何的证题方法多种多样．利用旋转来解决平面几何问题，有时能收到事半功倍的效果．例图 1 中以△ ABC的边 AB、AC为一边向外作正方形ABDE及正方形 ACFG，连结 BG、 CE．求证： (1)BG=CE；(2)BG⊥CE．分析： 一般的证法是证明△ABG与△ AEC全等，然后应用全等三角形的性质。而如果采用旋转，则可以如下证明：由已知可知， 点 E 绕点 A 逆时针旋转90° 为点 B，点 C绕点 A逆时针旋转90° 为点 G，从而知线段EC绕点 A 逆时针旋转90° 为线段 BG，故有 BG=CE，BG⊥CE．本文将从最常见的两种旋转出发，谈谈旋转在平面几何中的应用。一、按旋转的角度进行区分1、90° 角旋转例 1 如图 2，E、F 分别是边长为1 的正方形 ABCD的 BC、CD—上的点，且△ CEF 的周长是 2．求∠ EAF的大小。解：将△ ABE 绕点 A 作逆时针旋转90° ，则 AB边与 AD边重合，设旋转后E→E′ ，由条件△ CEF 的周长为 2，即 CE+EF+CF=2，又 BE+CE+CF+ DF=2，且显然有 BE=DE′ ，故 CE+ CF+FE′=2．从而必有 EF=FE′ ，又 AE= AE′ ，AF=AF，故△ AEF≌△AE'F，∴∠ EAF=E'AF，又从作图知∠ EAE′=90° ，故∠ EAF=45° 。例 2（北京东城2010 年上学期期末）如图，P 为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a＞0) ，求:(1) ∠ APB的度数 ;(2) 正方形 ABCD的面积．分析 : 三条已知的线段PA、PB、PC具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形． 但是当把△ ABP按顺时针方向旋转90° 后， 即会出现等腰直角三角形，于是 PA旋转后的线段与PC构成了一个新的三角形．解:(1) 将△ ABP绕点 B 顺时针方向旋转90° 得△ CBQ．则△ ABP ≌ △CBQ且 PB⊥QB．于是 PB=QB=2a，PQ=22PBQB=22 a．在△ PQC中， PC2=9a2，PQ2＋ QC2=9a2．∴PC2=PQ2＋QC2． ∴∠ PQC=90° ． △ PBQ是等腰直角三角形，∴∠ BPQ=∠BQP=45° ．故∠ APB=∠CQB=90° ＋45° =135° ．(2) ∠ APQ=∠ APB＋∠ BPQ=135° ＋45° =180° ，∴三点 A、P、Q在同一直线上．在 Rt△AQC中， AC2=AQ2＋QC2=(a＋ 22 a)2＋a2=(10 ＋42 ) a2．故 S 正方形 ABCD= 12AC2=(5＋ 22 ) a2．思考例 2 中，如果把△ CBP绕点 B逆时针方向旋转90° 得△ ABM，怎样解以上问题?( 答: (1) △ PBM是等腰直角三角形，且由勾股定理的逆定理得∠APM=90° ;(2) ...
