函数的单调性与极值专项训练(假期)VIP免费

一、课内训练：1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x(2)y=x－x3(1)解：y′=(x3－9x2+24x)′=3x2－18x+24=3(x－2)(x－4)令3(x－2)(x－4)＞0，解得x＞4或x＜2.∴y=x3－9x2+24x的单调增区间是(4，+∞)和(－∞，2)令3(x－2)(x－4)＜0，解得2＜x＜4.∴y=x3－9x2+24x的单调减区间是(2，4)(2)解：y′=(x－x3)′=1－3x2=－3(x2－)=－3(x+)(x－)令－3(x+)(x－)＞0，解得－＜x＜.∴y=x－x3的单调增区间是(－，).令－3(x+)(x－)＜0，解得x＞或x＜－.∴y=x－x3的单调减区间是(－∞，－)和(，+∞)2.讨论二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)的单调区间.解：y′=(ax2+bx+c)′=2ax+b,令2ax+b＞0，解得x＞－∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调增区间是(－，+∞)令2ax+b＜0，解得x＜－.∴y=ax2+bx+c(a＞0)的单调减区间是(－∞，－)3.求下列函数的单调区间(1)y=(2)y=(3)y=+x(1)解：y′=()′= 当x≠0时，－＜0，∴y′＜0.∴y=的单调减区间是(－∞，0)与(0，+∞)(2)解：y′=()′当x≠±3时，－＜0，∴y′＜0.∴y=的单调减区间是(－∞，－3)，(－3，3)与(3，+∞).(3)解：y′=(+x)′.当x＞0时+1＞0，∴y′＞0.∴y=+x的单调增区间是(0，+∞)4.确定函数f(x)=x2－2x+4在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2.令2x－2＞0，解得x＞1.∴当x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令2x－2＜0，解得x＜1.∴当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.5.确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令6x2－12x＞0，解得x＞2或x＜0∴当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令6x2－12x＜0，解得0＜x＜2.∴当x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数.6.证明函数f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数x1，x2∈(0，+∞)设x1＜x2.f(x1)－f(x2)= x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0 x1＜x2，∴x2－x1＞0，∴＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证法二：(用导数方法证) =()′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0.∴，∴f(x)=在(0，+∞)上是减函数.点评：比较一下两种方法，用求导证明是不是更简捷一些.如果是更复杂一些的函数，用导数的符号判别函数的增减性更能显示出它的优越性.7.确定函数的单调减区间8.已知函数y=x+，试讨论出此函数的单调区间.解：y′=(x+)′=1－1·x－2=21fx=x2-2x+4xOy21fx=2x3-6x2+7xOy-22-11fx=x+1xxOy令＞0.解得x＞1或x＜－1.∴y=x+的单调增区间是(－∞，－1)和(1，+∞).令＜0，解得－1＜x＜0或0＜x＜1.∴y=x+的单调减区间是(－1，0)和(0，1)9.求y=x3－4x+的极值解：y′=(x3－4x+)′=x2－4=(x+2)(x－2)令y′=0，解得x1=－2，x2=2当x变化时，y′，y的变化情况如下表-2(-2,2)2+0－0+↗极大值↘极小值↗∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=当x=2时，y有极小值且y极小值=－5f(x)=13x3-4x+42-2xOy10.求y=(x2－1)3+1的极值解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1当x变化时，y′，y的变化情况如下表-1(-1,0)0(0,1)1－0－0+0+↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x=0时，y有极小值且y极小值=01-1fx=x2-13+1xOy11．求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x(1)解：y′=(x2－7x+6)′=2x－7令y′=0，解得x=.当x变化时，y′，y的变化情况如下表.－0+↘极小值↗∴当x=时，y有极小值，且y极小值=－(2)解：y′=(x3－27x)′=3x2－27=3(x+3)(x－3)令y′=0，解得x1=－3，x2=3.当x变化时，y′，y的变化情况如下表-3(-3,3)3+0－0+↗极大值54↘极小值-54↗∴当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54当x=3时，y有极小值，且y极小值=－54二、课后练习：1．函数是减函数的区间为(D)Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.2．函数y=xcosx-sinx在下面哪个区间内是增函数（B）A()B(π,2π)C()D(2π,3π)3.设f'(x)是函数f(x)的导函数，y=f'(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是（C）ABCD4．函数的单调减区间是（A）A．B．C．及D．5.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f(x)在(a,b)内的图象...