对十字相 乘法因式分解的研究结果和一些见解，与各位同行交流下.面几个问题。 第一．如何进行十字相乘法因式分解的教学，我完全赞同三位老师（浙江夏老师、沈老师，湖北罗老师）的观点,即“头尾分解，交叉相乘；求和奏中，观察试验；化多为少，化繁为简，化大为小”或采用“三保险”法：“左边之积＝二次项系数”，“右边之积＝常数项”，“交叉之和＝一次项系数”，其结果：按箭头方向横着写答案。 ax2+bx+c=(a1x+c1)( a2x+c2)（如右图） 第二．对于关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c（a≠0） 在实数范围内什么时候能因式分解? 由关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式 x1、2= 可知 当 b2-4ac≥0 时，关于 x的一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根 x1,x2 则有 x1+,x2= = x1,x 2= = 则 ax2+bx+c= =a[x2－(x1+x2)x+ x1x 2]=a(x－x1)(x －x2)（最后一步用了十字相乘法因式分解） 由此看出：当 b2-4ac≥0 时，关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c ，在实数范围内可因式分解，b2-4ac=0 时，关于 x的二次三项式 ax2+bx+c可分解为一个完全平方式，当b2-4ac＜0，在实数范围内不可因式分解，若a,b,c 都为有理数时，b2-4ac 的值为完全平方数时，用十字相乘法来因式分解较方便。 我们来观察下面几例十字相乘法因式分解 ①x2－2x－3 ② 3x2－10x－8 ③ 4x2－4x＋1 解：①原式=（x+1）（x－3）[b2－4ac=（-2）2－4×1×（-3）=42] ②原式=（3x+2）（x－4）[b2－4ac=（-10）2－4×3×（-8）=142] ③原式=（2x－1）2 [b2－4ac=（-4）2－4×4×1=02] 第三．十字相乘法因式分解与另外三种方法的内在统一性 ⑴十字相乘法与提取公因式法 可用提取公因式法分解的多项式有时也可用十字相乘法来分，例如 ① 3x2－10x 解法一：提取公因式法 原式=x（3x－10） 解法二：十字相乘法 原式=3x2－10x+0 =（x+0）（3x－10） =x（3x－10） ② Xy+y 解法一：提取公因式法 原式= y（X+1） 解法二：十字相乘法 ③ 原式= Xy+y+0 =(y+0)( X+1) = y（X+1） 这里将Xy看成二次项，常数项看做是0，y看成一次项。 （2）十字相乘法与公式法 可用公式法分解的多项式有时也可用十字相乘法来分 例如 ① x2－4 解法一：公式法（平方差） 原式=（x+2）（x－2） 解法二：十字相乘法 原式= x2+0?x－4 =（x+2）（x－2） 这里将一次项看为是0?x ② 9x2+6x+1 解法一：公式法（完全平方公式...
