3、角平分线的四大模型 模型 1 ：角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。 结论：PB=PA。 模型证明：OP∵平分∠MON，AOP=BOP∴∠∠；又 PA⊥OM ，PB⊥ON，∴∠OAP=∠OBP=90°；OP=OP；∴RT△OAP≌RT△OBP,∴PB=PA。模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型， 为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的 突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点 D 到直线 AB 的距离是_____； （2）如图②，∠1=∠2，∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC。 解析：（1）由角平分线模型知，D 到 AB 的距离等于 DC=2（2）如图分别做 AB、BC、AC 三边的高，由题意易得三边高相等， ∴AP 平分∠BAC模型练习1．如图，在四边形 ABCD 中，BC>AB，AD=DC，BD 平分∠ABC。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 证 明如 图延长 BA，过 D 作 DE、DF 垂直 BA 延长线、BC 于 E、F两点，∵BD 平分∠ABC∴DE=DF,又 AD=DC ∴RT△DEA≌RT△DFC ∴∠DAE=∠BCD ∴∠BAD+∠BCD=180°2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线 CP 与内角∠ABC 的平分线 BP 交于点 P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
