11-2. 如右图， P 为等边 6ABC 所在平面上的任意一点，求证 P A ≤ PB + PC.费马点问题1-1. 如左图，0O 为等边 6ABC 的外接圆，P 为劣弧 B--C 上一点，求证：P A =PB + PC.2. 如图，P 在 6ABC 所在平面上，若 6ABC 的三个内角均小于 120◦，试证：当 PA + PB + PC 达到最小值时，有∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 120◦. (费马点问题)23. 如图，直线 l 为一条供水管道，点 A、B 为 l 同侧的两个居民区，A 到 l 的距离 AAt = 1，B 到 l 的距离 BBt = 2，AtBt = 2；现在需要规划一套连接 A、 B 与 l 的供水管道系统，希望铺设管道的总距离尽可能小，施工队三个工作人员提出了以下三套方案：01 直接连接折线 At → A → B，AtA + AB 即为最佳方案；02 在直线 l 上合适位置找一点 P ，当 PA + PB 最短时即为最佳方案；03 在 直 线 l 外 合 适 位 置 找 一 点 P ， 连接 PA、 PB 并 向 直 线 l 作 垂 线 PP t，当 PA + PB + PP t 最短时即为最佳方案；请你选择你认为最佳的方案并说明理由，求出你所选择的最佳方案需要铺设管道的总长度.34-1. 如左图，四边形 ABPC 内接于 0O，连接 PA、BC，试证：AB · PC + AC · PB = BC · PA.4-2. 如右图，平面上任意四点 ABP C，连接 PA、BC，试证：AB · PC + AC · PB ≥ BC · PA.(托勒密定理的等式形式与不等式形式，不等式形式对千空间中四点仍成立)5. 如图，边长为 1 的正方形 ABCD 内一点 P ，求 PA + 2PB + √5PC 的最小值. (加权费马点问题举例)1-2. 如右图， P 为等边 6ABC 所在平面上的任意一点，求证 P A ≤ PB + PC.4费马点问题解答1-1. 如左图，0O 为等边 6ABC 的外接圆，P 为劣弧 B--C 上一点，求证：P A =PB + PC.1-1.证明：在 AP 上取点 P t， 使 PB = PP t， ∠BPA = ∠BCA = 60◦， 知等边 6BPP t， 故∠ABP t = ∠CBP ， 6ABP t ∼= 6CBP (SAS)， 因此 PA =PP t + P tA = PB + PC.1-2.证明：将 6BPC 绕点 B 旋转 60◦至 6BP tA，易知等边 6BPP t，因此 PA ≤PP t + P tA = PB + PC.52. 如图，P 在 6ABC 所在平面上，若 6ABC 的三个内角均小于 120◦，试证：当 PA + PB + PC 达到最小值时，有∠APB = ∠BPC = ∠CPA = 12...
