特征值和特征向量的物理意义VIP专享

ABSTRACT: 特征向量：它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已。特征值：一个变换（矩阵）可由它的所有特征向量完全表示，而每一个向量所对应的特征值，就代表了矩阵在这一向量上的贡献率一一说的通俗一点就是能量（power ）。内积：内积可以简单的理解为两个函数的相似程度，内积值越大表示两个函数相似程度越大 ，内积为零表示完全不相似。两个函数内积为零则两个函数正交，在三维空间中它们的夹角为90 度,在三维以上不是这样的。CONTENT 矩阵（既然讨论特征向量的问题。当然是方阵。这里不讨论广义特征向量的概念）乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量。因此。矩阵乘法对应了一个变换。把一个向量变成同维数的另一个向量。那么变换的效果是什么呢？这当然与方阵的构造有密切关系。比如可以取适当的二维方阵。使得这个变换的效果就是将平面上的二维向量逆时针旋转30 度。这时我们可以问一个问题。有没有向量在这个变换下不改变方向呢 ？可以想一下。除了零向量。没有其他向量可以在平面上旋转30 度而不改变方向的。所以这个变换对应的矩阵（或者说这个变换自身）没有特征向量（注意:特征向量不能是零向量 ）。所以一个变换的特征向量是这样一种向量。它经过这种特定的变换后保持方向不变。只是进行长度上的伸缩而已（再想想特征向量的原始定义Ax= ex 。你就恍然大悟了。看到了吗？cx 是方阵 A 对向量 x 进行变换后的结果。但显然cx 和 x 的方向相同 ）。而且 x 是特征向量的话。ax 也是特征向量 （a 是标量且不为零 ）。所以所谓的特征向量不是一个向量而是一个向量族。另外。特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍数而已。对一个变换而言。特征向量指明的方向才是很重要的。特征值不是那么重要。虽然我们求这两个量时先求出特征值。但特征向量才是更本质的东西！比如平面上的一个变换。把一个向量关于横轴做镜像对称变换。即保持一个向量的横坐标不变。但纵坐标取相反数。把这个变换表示为矩阵就是[1 0;0 -1] 。其中分号表示换行。显然 [1 0;0 -1]*[a b]'=[a -b]' 。其中上标 ’表示取转置。这正是我们想要的效果。那么现在可以猜一下了。这个矩阵的特征向量是什么？想想什么向量在这个变换下保持方向不变。显然，横轴上的向量在这个变换下保持方向不变（记住这个变换是镜像对称变换。那镜子表面上（横轴上 ）的向量当然不会变化）。所以可以直接猜测其特征向量是[a 0]'...