用空间向量解立体几何问题方法归纳VIP专享

用空间向量解立体几何题型与方法平行垂直问题基础知识直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)．平面 α，β 的法向量 u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4) (1)线面平行： l∥α? a⊥u? a·u＝0? a1a3＋b1b3＋c1c3＝0 (2)线面垂直： l⊥α? a∥u? a＝ku? a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3(3)面面平行： α∥β? u∥v ? u＝kv? a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4(4)面面垂直： α⊥β? u⊥v ? u·v＝0? a3a4＋b3b4＋c3c4＝0 例 1、如图所示，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD的中点， PA＝AB＝1， BC＝2. (1)求证： EF∥平面 PAB；(2)求证：平面 PAD⊥平面 PDC. [证明 ]以 A 为原点， AB，AD，AP 所在直线分别为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图所示，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，所以 E12，1，12 ，F 0，1，12 ，EFuuur＝ －12，0，0 ，PBuuur＝(1,0，－1)，PDuuur＝(0,2，－1)，APuuur＝(0,0,1)，ADuuur＝(0,2,0)，DCuuur＝(1,0,0)， ABuuur＝(1,0,0)．(1)因为 EFuuur＝－ 12 ABuuur，所以 EFuuur∥ABuuur，即 EF∥AB. 又 AB? 平面 PAB，EF?平面 PAB，所以 EF∥平面 PAB. (2)因为 APuuur· DCuuur＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， ADuuur· DCuuur＝(0,2,0)·(1,0,0)＝0，所以 APuuur⊥ DCuuur， ADuuur⊥ DCuuur，即 AP⊥DC，AD⊥DC. 又 AP∩AD＝A，AP? 平面 PAD，AD? 平面 PAD，所以 DC⊥平面 PAD.因为 DC? 平面 PDC，所以平面 PAD⊥平面 PDC. 使用空间向量方法证明线面平行时， 既可以证明直线的方向向量和平面内一条直线的方向向量平行，然后根据线面平行的判定定理得到线面平行，也可以证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明面面垂直既可以证明线线垂直，然后使用判定定理进行判定， 也可以证明两个平面的法向量垂直 . 例 2、在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，点 E 在线段 BB1 上，且 EB1＝1，D，F，G 分别为 CC1，C1B1，C1A1 的中点．求证： (1)B1D⊥平面 ABD；(2)平面 EGF∥平面 ABD. 证明： (1)以 B 为坐标原点， BA、BC、BB1 所在的直线分别为x 轴、 y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，则B(0,0,0)，D(0,2,2)，B1(0,0,4)，设 BA＝a，则 A(a,0,0)，所以 BAuuur＝(a,0,0)， BDuuur＝(0,2,2)，1B Duuuur＝(0,2，－2)，1B...