由脚印估计身高的概率分析数学一班0710210105 孙玲0710210104 石玲关键词： 身高脚印正态分布条件期望在推断犯罪的侦破技术中有如下公式: 身高=脚印长度6.876那么这个公式是如何获得的呢， 利用所学的概率统计的基本知识，运用条件数学期望和回归，我们可以对之作一个简单的推导。其实 , 已知脚印长度来估测人的身高这一问题，正是我们所讨论的条件数学期望。设一个人的身高为, 他的脚印长度为，那么我们可以把,看成是一个二维随机变量。对脚印长为y 的人群来说 , 他们的身高所服从的分布就是Fx y 这一分布函数 . 假设已知某人的脚印长度为y , 要估计该人的身高是多少 , 我们可以把在y 这一事件发生的条件下的平均身高Ey 作为一种估计 . 显然，由于影响人身高与脚印长度的因素是大量的、相互独立的，且各因素的影响又是微小的，可以叠加的，故由“中心极限定理”，在误差存在的基础上,可以近似地看成服从N221212,,,,a a的二维正态分布，其中参数是221212,,,,a a，这些数据可能因区域、民族、生活习惯的不同而有所变化，但它们均可以通过统计方法获得，在此，不再赘述。现在我们来继续分析问题。 设罪犯的脚印长度为y ，要估计其身高就需要计算的条件期望 Ey，它的条件密度函数为2221122221212222222112222221212212212122 121222122 12112 12121,12112121121121y ax ax ay ay ax ax ay ay ax ay ap x ypx ypyeeee21122221121xay ae这正是正态分布2211212,1N aya的密度函数，因此1122Eyaya。这是一个 y 的线性函数，如果把1122,aayy 在平面上表示 , 它是一条直线 , 这条直线在一定程度上描述了身高依赖于脚印长度的关系。我们已经知道 E是关于的函数 , 假设还有其他的函数 g可以作为对的取值估计 , 并且要求这种估计的误差g要尽可能地小 , 但g是随机变量, 所以我们求平均值minEg但是由于绝对值运算在数学处理上并不方便，所以利用数学分析上所学的 “最小二乘法”及类似于方差的讨论方法求下式：2minEg如果,的密度函数为,p x y , 就有222,Egxg yp x y dxdypyxg ypx y dx dy由方差的性质：对任意的常数,CE有2DEC可知 , 当 g yEy 时, 能使22xg ypx y dxEg yy达到最小 , 从而当 gE时, 也使2Eg达到最小 . 所以在已知y 发生的条件下 , 用 Ey 作为对的估计是最佳的 , 这时均方误差2EEyy 达到最小 . 当,的密度函数,p x y 未知时 , 或者 Ey ...
