矩阵分析报告理论基础知识

1 / 8 前言1、自我介绍2、矩阵分析理论是在线性代数的基础上推广的3、矩阵分析理论的组成：四部分：基础知识（包括书上的前三章内容）难点：约当标准形与移项式矩阵矩阵分析（第四章：矩阵函数及其应用）矩阵特征值的估算（第五章）非负矩阵（第六章）第一部：矩阵分析理论的基础知识§1 线性空间与度量空间一、线性空间：1．数域： Df1：若复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积商（除数不为0）仍在这个集合中，则称数集P 为一个数域eg1：Q（有理数），R（实数），C（复数），Z（整数），N（自然数）中哪些是数域？哪些不是数域？2．线性空间—设 P 是一个数域， V 是一个非空集合，若满足：<1> 可加性—指在V 上定义了一个二元运算（加法）即：V,经该运算总存在唯一的元素V 与之对应，称为与的和，记并满足：①②)()(③零元素—＝有VtsV.④＝记的负元素为＝有对VV<2> 数积：（数乘运算）—在P 与 V 之间定义了另一种运算。即VPk,经该运算后所得结果，仍为 V 中一个唯一确定的元素。 存在唯一确定的元素V 与之对应，称为 k 与的乘积。记为k并满足：① 12 / 8 ②Plk,)()(kllk③Plk,lklk)(④,kkk)(则称 V 为数域 P 上的线性空间（向量空间）记为)...(PV习惯上 V 中的元素—向量，—零向量，负元素—负向量结论：可以证明，线性空间中的零向量是唯一的，负元素也是唯一的，且有：0k)1()(eg2：}{阶矩阵是nmAAVP—实数域 R按照矩阵的加法和数与矩阵的乘法，就构成实数域 R 上的线性空间， 记为：nmR同样，若 V 为 n 维向量，则可构成 R 上的 n 维向量空间nR —线性空间。eg3：],[baCVP＝R按照连接函数的运算， 显然可建立 R 上的一个线性空间，记为).,.(],[RCba。根据线代中向量空间的维数与基的定义。我们可以定义线性空间的基与维数3．线性空间的基与维数Df3. 设 V 是 P 上的线性空间Vxxxn,,,21若①nxxx,,21线性无关；②V中任一元素可由nxxx,,21线性表示则称 V 为 n 维线性空间的一组基， dimV= n，若nxxx,,21为 V 的一组基，则对V 必有nnnnkkxxxkxkxk112211),,(则),,(1nkk称为在基nxxx,,21下的坐标，且坐标是唯一的。eg4. 在线性空间nxP][中，1,,,1nxx是nxP][的一组基。3 / 8 eg5. nR 中neee,,,21是nR 的一组基， dimnR = n 4. 子空间—设 V 是 P 上的线性空间，VV1，若1V 对.构成 P 上的线性空间则称1V 与 V 的线性子空间，简称子...