1 / 3 矩阵理论 2007 年考试一、判断题（ 40 分）（对者打，错者打）1、设,n nA BC的奇异值分别为120n，'''120n，如果' (1,2,, )ii in ，则22||||||||AB
( ) 2、设n nAC为正规矩阵，则矩阵的谱半径2( )||||r AA
( ) 3 、 设nnCA可 逆 ，nnCB， 若 对 算 子 范 数 有1|||| ||||1AB， 则BA可 逆
( )4、设323121000aaAaaaa为一非零实矩阵，则2221123()aaaA 为 A 的一个广义逆矩阵
( ) 5、设 A 为 mn 矩阵， P 为 m 阶酉矩阵 , 则 PA 与 A 有相同的奇异值
( ) 6、设n nAC，且 A 的所有列和都相等，则()r AA
( ) 7、如果12(,,,)Tnnxx xxC ，则1|||| minii nxx 是向量范数
( ) 8、0010140110620118A至少有 2 个实特征值
( ) 9、设,n nAC则矩阵范数mA与向量的 1-范数相容
( ) 10、设n nAC是不可逆矩阵， 则对任一自相容矩阵范数有1IA, 其中 I 为单位矩阵
( )二、计算与证明（ 60 分）1
(10 分)设矩阵n nAC可逆 , 矩阵范数 || ||是nC上的向量范数 || ||v 诱导出的算子范数, 令( )L xAx , 证明 : || ||11|| ||1max || ( ) |||||| ||||min || ( ) ||vvvxvyL xAAL y
证明 : 根据算子范数的定义, 有|| || 1max || ( ) || ||||xL xA, 11100|| || 1|| || 10||||||||111||||maxmax|||||||||||
