1 / 3 矩阵理论 2007 年考试一、判断题（ 40 分）（对者打，错者打）1、设,n nA BC的奇异值分别为120n，'''120n，如果' (1,2,, )ii in ，则22||||||||AB. ( ) 2、设n nAC为正规矩阵，则矩阵的谱半径2( )||||r AA. ( ) 3 、 设nnCA可 逆 ，nnCB， 若 对 算 子 范 数 有1|||| ||||1AB， 则BA可 逆 . ( )4、设323121000aaAaaaa为一非零实矩阵，则2221123()aaaA 为 A 的一个广义逆矩阵 . ( ) 5、设 A 为 mn 矩阵， P 为 m 阶酉矩阵 , 则 PA 与 A 有相同的奇异值. ( ) 6、设n nAC，且 A 的所有列和都相等，则()r AA. ( ) 7、如果12(,,,)Tnnxx xxC ，则1|||| minii nxx 是向量范数 . ( ) 8、0010140110620118A至少有 2 个实特征值 . ( ) 9、设,n nAC则矩阵范数mA与向量的 1-范数相容 . ( ) 10、设n nAC是不可逆矩阵， 则对任一自相容矩阵范数有1IA, 其中 I 为单位矩阵. ( )二、计算与证明（ 60 分）1. (10 分)设矩阵n nAC可逆 , 矩阵范数 || ||是nC上的向量范数 || ||v 诱导出的算子范数, 令( )L xAx , 证明 : || ||11|| ||1max || ( ) |||||| ||||min || ( ) ||vvvxvyL xAAL y. 证明 : 根据算子范数的定义, 有|| || 1max || ( ) || ||||xL xA, 11100|| || 1|| || 10||||||||111||||maxmax||||||||||||min ||||min ||( ) ||min||||yAxxyyyyAxyAAyxAyAyL yy, 2 / 3 结论成立 . 2.(10 分) 已知矩阵110130110 ,112114Ab, (1) 求矩阵 A 的最大秩分解 ; (2) 求 A ; (3) 用广义逆矩阵方法判断方程组Axb 是否有解 ? (4) 求方程组 Axb 的最小范数解或最佳逼近解?(要求指出所求的是哪种解) 解: (1)10110101011011ABD , (2)121 11()1213TTBB BB, 121121()13521TTDDDD, 541033157215541AD B, (3) 314AA bb, 方程组 Axb 有解 ; (4) 最小范数解 :01 101TxA b. 3. (10 分) 设矩阵n nAC为单纯矩阵 , 证明 : A 的特征值都是实数的充分必要条件是存在正定矩阵n nHC, 使得 HA 为 Hermite 矩阵 . 证 明 : ( 充 分 性 ) (0)Axx x, ,(0,)HHHHx HAxx HxR x Hxx HAxR, R . (必要性 ) A 为单纯矩阵 , 所以11, (,,),niAP DP DdiagR, 令HHP P , 则1HHHAPPPDPP DP 为 Hermite 矩阵 . 4. (10 分) 设矩阵n nAC...
