(经典)讲义:等比数列及其前 n 项和1.等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,通常用字母 q 表示.2.等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=a1· q n - 1 .3.等比中项若 G 2 = a · b ( ab ≠0) ,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项.4.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广:an=am·q n - m ,(n,m∈N+).(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则 ak· a l= a m· a n.(3) 若 {an} , {bn}( 项 数 相 同 ) 是 等 比 数 列 , 则 {λan}(λ≠0) , , {a} ,{an·bn},仍是等比数列.(4)公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列,其公比为 q n .5.等比数列的前 n 项和公式等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn,当 q=1 时,Sn=na1;当 q≠1 时,Sn==.【注意】6. 利用错位相减法推导等比数列的前 n 项和: Sn= a 1+ a 1q + a 1q 2 + … + a 1q n - 1 , 同乘 q 得: qS n= a 1q + a 1q 2 + a 1q 3 + … + a 1q n , 两式相减得 (1 - q ) S n= a 1- a 1q n , ∴ S n= ( q ≠1) . 7.1 由 a n+1= qa n, q ≠0 并不能立即断言 { a n} 为等比数列,还要验证 a 1≠0.7.2 在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q = 1 与 q ≠1 分类讨论, 防止因忽略 q = 1 这一特殊情形导致解题失误. 8. 等比数列的判断方法有: (1) 定义法:若 = q ( q 为非零常数 ) 或 = q ( q 为非零常数且 n ≥ 2 且 n ∈ N * ) ,则 { a n}是等比数列.(2) 中项公式法:在数列 { a n} 中, a n≠0 且 a = a n· a n+2( n ∈ N * ) ,则数列 { a n} 是等 比数列.1(3) 通项公式法:若数列通项公式可写成 a n= c · q n ( c , q 均是不为 0 的常数 , n ∈ N * ) ,则 { a n} 是等比数列. 一、知识梳理1.等比数列前 项和公式(1)探索导引: 求和说明:对于等比数列的前 项和公式:从方程观点看:由等比数列的前 项和公式及通项公式可知,若已知中...