1 / 5 第九讲积分第一中值定理的叙述方式及其应用积分第一中值定理无论在理论上或应用上都在积分学中有重要意义。深入掌握定理的条件、结论及其证明方法，并用它来解决问题是十分重要的。积分第一中值定理的叙述方式不同，应用它解决问题的方便程度也有所不同。目前一般的《数学分析》教材中，积分第一中值定理有如下的叙述方式：定理 1 设( )[ , ],( )[ , ]f xC a b g xR a b ，且( )g x 在 [ , ]a b 不变号，则[ , ],( ) ( )( )( )bbaaa bf x g x dxfg x dx 。关于定理 1 的叙述方式及相应的证明，有如华东师大、吉林大学、刘玉琏等编的数学分析教科书。定理 1 中的结论，[ , ]a b 可以改为( , )a b 。将闭区间改为开区间，有时应用起来更方便。定理 2 设( )[ , ],( )[ , ]f xC a b g xR a b ，且( )g x 在 [ , ]a b 不变号，则( , ),( ) ( )( )( )bbaaa bf x g x dxfg x dx 。证明：因为()[,] ,fxC a b 所以( )f x 在 [ , ]a b 上有最大值M ，最小值 m，设1212(),(),,[ , ]f xm f xM x xa b 。先证明存在常数[,]m M有( ) ( )( )bbaaf x g x dxg x dx。（9。1）不妨设( )0,[ , ]g xxa b ，则( )0bag x dx，且( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )bbbaaamg xf x g xMg xm g x dxf x g x dxMg x dx2 / 5 若( )0( ) ( )0bbaag x dxf x g x dx，则 m 与 M 之间的任何数都可为。若( )0bag x dx，则( ) ( )( )babaf x g x dxmMg x dx，取( ) ( )( )babaf x g x dxg x dx，则mM ，( ) ( )( )bbaaf x g x dxg x dx。现证定理2，若( )0bag x dx，定理 2 显然成立。今设( )0bag x dx。（1）若（ 9。1）式中的满足： mM ，由于( )[ , ]f xC a b ，所以存在12,[ , ]x xa b ，12(),()f xmf xM ，不妨设12xx ，因为( )fx 在 [ , ]a b 连续，从而1212[,],( ),,( , )x xfxxa b ，有( ) ( )( )( )bbaaf x g x dxfg x dx 。（2）若 mM 至少有一个等号成立，不妨设m ，则( )( )0,[ , ]F xf xxa b 。若( , ),( )a bf则定理已成立。假如，( , ),( )xa bf x，则将导致矛盾。事实上，因为已有( ) ( )( )babaf x g x dxg x dx和( )( )0,( , )F xf xxa b 。今...
